Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La programmazione dinamica è utile quando un problema presenta:

  1. ANessun sottoproblema, quindi si risolve in un solo passo
  2. BSolo input casuali
  3. CUn unico ciclo
  4. DSottoproblemi sovrapposti e sottostruttura ottima
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è il tempo di esecuzione dell'algoritmo di Dijkstra con uno heap binario su un grafo con V vertici ed E archi?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V³)
  3. CO((V + E) log V)
  4. DO(V + E)
3.Strutture datiMedia

Quale tipo di dato astratto usa l'algoritmo di Dijkstra per scegliere il prossimo vertice da elaborare?

  1. AUna coda FIFO
  2. BUn insieme senza ordinamento
  3. CUna pila
  4. DUna coda con priorità di minimo
4.Strutture datiDifficile

In un buffer circolare, front == rear può significare sia vuoto sia pieno. Qual è un modo comune per distinguere i due casi?

  1. AMantenere un contatore separato degli elementi, oppure lasciare sempre una posizione inutilizzata
  2. BRendere la dimensione del buffer una potenza di due
  3. CMemorizzare front e rear nella stessa variabile
  4. DSvuotare sempre il buffer ogni volta che front è uguale a rear, così lo stato è vuoto
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
14132131369101ABCDEFG

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 4; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Sottoproblemi sovrapposti e sottostruttura ottima

Perché è questa la risposta

Memorizzare i risultati dei sottoproblemi sovrapposti (memoizzazione o tabulazione) evita lavoro ripetuto, trasformando algoritmi esponenziali in polinomiali.

Risposta

D · Sottoproblemi sovrapposti e sottostruttura ottima
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O((V + E) log V)

Perché è questa la risposta

Ci sono V operazioni extract-min e fino a E operazioni decrease-key, ciascuna O(log V); uno heap di Fibonacci migliora a O(E + V log V).

Risposta

C · O((V + E) log V)
3.Strutture dati

Risposta: D · Una coda con priorità di minimo

Perché è questa la risposta

Una coda con priorità di minimo, di solito un heap binario, restituisce in modo efficiente il vertice non visitato con la distanza minima.

Risposta

D · Una coda con priorità di minimo
4.Strutture dati

Risposta: A · Mantenere un contatore separato degli elementi, oppure lasciare sempre una posizione inutilizzata

Perché è questa la risposta

Con un contatore, vuoto significa count = 0 e pieno significa count = capacità; con una posizione sempre vuota, pieno si definisce come (rear + 1) mod n == front.

Risposta

A · Mantenere un contatore separato degli elementi, oppure lasciare sempre una posizione inutilizzata
5.Teoria dei grafi

Risposta: nessuna delle due

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Vertici dispari

D, E, F, G → 4
nessuna delle due

Risposta

nessuna delle due
6.Teoria dei grafi

Risposta: G

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 14
2. B (14): C: 27, D: 16, G: 20
3. D (16): F: 29
4. G (20): E: 21
5. E (21)
6. C (27)
7. F (29)

passo 4

G

Risposta

G

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