Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La programmazione dinamica è utile quando un problema presenta:

  1. ANessun sottoproblema, quindi si risolve in un solo passo
  2. BSolo input casuali
  3. CUn unico ciclo
  4. DSottoproblemi sovrapposti e sottostruttura ottima
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale di questi problemi di soddisfacibilità è noto per essere risolvibile in tempo polinomiale?

  1. A2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali
  2. B3-SAT, in cui ogni clausola ha esattamente tre letterali
  3. CSAT generale su formule in forma normale congiuntiva
  4. DLa soddisfacibilità dei circuiti
3.Strutture datiMedia

In una coda circolare memorizzata in un array di capacità n, come si calcola la posizione successiva all'indice i?

  1. A(i + 1) mod n
  2. Bi + 1
  3. C2i + 1
  4. D(i − 1) mod n
4.Strutture datiDifficile

Per ogni elemento di un array vuoi il successivo elemento maggiore alla sua destra, in tempo totale O(n). Quale struttura aiuta?

  1. AUn albero binario di ricerca ricostruito per ogni elemento
  2. BUna coda che contiene ogni coppia di elementi
  3. CUna tabella hash di tutti gli elementi
  4. DUna pila che conserva gli elementi in attesa della loro risposta
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 4, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 4
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
1815141212616ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Sottoproblemi sovrapposti e sottostruttura ottima

Perché è questa la risposta

Memorizzare i risultati dei sottoproblemi sovrapposti (memoizzazione o tabulazione) evita lavoro ripetuto, trasformando algoritmi esponenziali in polinomiali.

Risposta

D · Sottoproblemi sovrapposti e sottostruttura ottima
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · 2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali

Perché è questa la risposta

2-SAT è in P (tempo lineare tramite componenti fortemente connesse), mentre 3-SAT è NP-completo.

Risposta

A · 2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali
3.Strutture dati

Risposta: A · (i + 1) mod n

Perché è questa la risposta

L'operazione modulo riporta l'indice n − 1 a 0, così l'array viene riutilizzato senza spostare elementi.

Risposta

A · (i + 1) mod n
4.Strutture dati

Risposta: D · Una pila che conserva gli elementi in attesa della loro risposta

Perché è questa la risposta

Scorrendo da sinistra a destra, si estrae ogni elemento della pila minore di quello corrente (l'elemento corrente è la loro risposta), poi lo si inserisce; ogni elemento si sposta al massimo due volte.

Risposta

D · Una pila che conserva gli elementi in attesa della loro risposta
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 10

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 16 = 2(L + 4) − 2
L = 10

Risposta

L = 10

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 23

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 1
B (1): D: 9, G: 13
D (9): E: 24, F: 23, G: 10
G (10): C: 16, E: 16
C (16)
E (16)
F (23)

Cammino minimo

A → B → D → F
d(F) = 23

Risposta

d(F) = 23

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