Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Che cosa misura l'analisi ammortizzata?

  1. AIl costo della singola operazione più costosa in un punto qualsiasi della sequenza
  2. BIl costo atteso su input casuali
  3. CIl costo medio per operazione su una sequenza di operazioni nel caso peggiore
  4. DIl costo di un algoritmo sull'input migliore
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché l'algoritmo di Dijkstra può dare risultati errati quando alcuni pesi degli archi sono negativi?

  1. AUn vertice viene considerato definitivo quando è estratto, ma un arco negativo successivo potrebbe ancora dargli un cammino più breve
  2. BFunziona solo sui grafi non orientati
  3. CI numeri negativi non si possono memorizzare in una coda di priorità
  4. DEntra in un ciclo infinito a ogni arco negativo
3.Strutture datiMedia

Che cosa è vero per la matrice di adiacenza di un grafo non orientato?

  1. ALa sua diagonale principale contiene sempre degli uno
  2. BOgni riga contiene esattamente un 1
  3. CÈ simmetrica rispetto alla diagonale principale
  4. DÈ sempre triangolare superiore
4.Strutture datiDifficile

Un oggetto è memorizzato come chiave in una hash map, e poi viene modificato un campo usato dalla sua funzione hash. Qual è il risultato probabile?

  1. ALa ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash
  2. BLa mappa solleva un errore nel momento in cui il campo cambia
  3. CNon cambia nulla, perché l'hash di una chiave si calcola una sola volta all'avvio del programma
  4. DLa mappa sposta automaticamente la chiave nel nuovo bucket
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDE

Quanti cammini di lunghezza 2 vanno da E a D? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Il costo medio per operazione su una sequenza di operazioni nel caso peggiore

Perché è questa la risposta

L'analisi ammortizzata distribuisce il costo di rare operazioni costose su molte operazioni economiche, dando una media garantita per qualsiasi sequenza.

Risposta

C · Il costo medio per operazione su una sequenza di operazioni nel caso peggiore
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Un vertice viene considerato definitivo quando è estratto, ma un arco negativo successivo potrebbe ancora dargli un cammino più breve

Perché è questa la risposta

Il passo greedy si basa su pesi non negativi perché le distanze estratte siano definitive; quando i pesi possono essere negativi si usa Bellman–Ford.

Risposta

A · Un vertice viene considerato definitivo quando è estratto, ma un arco negativo successivo potrebbe ancora dargli un cammino più breve
3.Strutture dati

Risposta: C · È simmetrica rispetto alla diagonale principale

Perché è questa la risposta

In un grafo non orientato l'arco {u, v} implica che siano impostati sia M[u][v] sia M[v][u], quindi la matrice coincide con la sua trasposta.

Risposta

C · È simmetrica rispetto alla diagonale principale
4.Strutture dati

Risposta: A · La ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash

Perché è questa la risposta

La posizione della chiave è stata scelta in base al vecchio hash; con un nuovo hash le ricerche esaminano il bucket sbagliato, quindi le chiavi dovrebbero essere immutabili.

Risposta

A · La ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash
5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Vertici dispari

C, E → 2
Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 1

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vicini comuni

(M²)ED = 0·0 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·1 = 1

Risposta

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms