Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale di: for i = 1 to n: for j = 1 to i: lavoro O(1)?

AO(n)
BO(n log n)
CO(n³)
DO(n²)

2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale algoritmo trova un albero ricoprente minimo aggiungendo ripetutamente l'arco più economico che non forma un ciclo?

AAlgoritmo di Prim a partire da un nodo
BAlgoritmo di Dijkstra
CFloyd-Warshall
DAlgoritmo di Kruskal

3.Strutture datiMedia

Quale condizione di bilanciamento mantiene un albero AVL in ogni nodo?

ATutte le foglie sono esattamente alla stessa profondità
BOgni nodo è colorato di rosso o di nero
CLe altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1
DI due sottoalberi di ogni nodo contengono esattamente lo stesso numero di nodi

4.Strutture datiDifficile

Un oggetto è memorizzato come chiave in una hash map, e poi viene modificato un campo usato dalla sua funzione hash. Qual è il risultato probabile?

ALa ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash
BLa mappa solleva un errore nel momento in cui il campo cambia
CLa mappa sposta automaticamente la chiave nel nuovo bucket
DNon cambia nulla, perché l'hash di una chiave si calcola una sola volta all'avvio del programma

5.Teoria dei grafiMedia

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 7|E| = 10

1Circuito euleriano
2Cammino euleriano, nessun circuito
3nessuna delle due

6.Teoria dei grafiDifficile

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 3; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 3

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(n²)

Perché è questa la risposta

Il corpo interno viene eseguito in totale n(n + 1) / 2 volte, che è comunque quadratico.

Risposta

D · O(n²)

2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Algoritmo di Kruskal

Perché è questa la risposta

Kruskal ordina gli archi per peso e li aggiunge se collegano componenti diverse; Prim fa crescere un unico albero a partire da un vertice iniziale.

Risposta

D · Algoritmo di Kruskal

3.Strutture dati

Risposta: C · Le altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1

Perché è questa la risposta

Il fattore di bilanciamento (altezza sinistra − altezza destra) deve essere −1, 0 o 1; le rotazioni lo ripristinano dopo inserimenti e cancellazioni.

Risposta

C · Le altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1

4.Strutture dati

Risposta: A · La ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash

Perché è questa la risposta

La posizione della chiave è stata scelta in base al vecchio hash; con un nuovo hash le ricerche esaminano il bucket sbagliato, quindi le chiavi dovrebbero essere immutabili.

Risposta

A · La ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash

5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Vertici dispari

B, E → 2

Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: B

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 11, C: 7

2. C (7): E: 13

3. B (11): D: 20

4. E (13): F: 28

5. D (20): F: 22

6. F (22)

passo 3

Risposta

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