Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

In un array ordinato cerchi due elementi la cui somma sia un valore dato muovendo un puntatore da ciascuna estremità verso l'interno. Qual è la complessità temporale?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Un problema è NP-completo se:

  1. AÈ risolvibile in tempo polinomiale
  2. BÈ al di fuori di NP ma più difficile di tutti i problemi NP, come il problema della fermata
  3. CÈ impossibile da risolvere
  4. DAppartiene a NP e ogni problema NP si riduce a esso in tempo polinomiale
3.Strutture datiMedia

In una coda circolare memorizzata in un array di capacità n, come si calcola la posizione successiva all'indice i?

  1. A(i + 1) mod n
  2. B2i + 1
  3. Ci + 1
  4. D(i − 1) mod n
4.Strutture datiDifficile

Che cosa fa uno splay tree dopo ogni accesso?

  1. ARicolora i nodi lungo il cammino di ricerca
  2. BPorta con rotazioni il nodo acceduto fino alla radice
  3. CRicostruisce l'intero albero in forma bilanciata
  4. DSposta il nodo acceduto in una foglia
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDE

Quanti cammini chiusi di lunghezza 2 partono e terminano in E? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(n)

Perché è questa la risposta

Se la somma è troppo piccola il puntatore sinistro si sposta a destra, se è troppo grande il puntatore destro si sposta a sinistra, quindi ci sono al massimo n passi.

Risposta

A · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Appartiene a NP e ogni problema NP si riduce a esso in tempo polinomiale

Perché è questa la risposta

I problemi NP-completi sono i più difficili in NP; un algoritmo polinomiale per uno di essi ne darebbe uno per tutto NP.

Risposta

D · Appartiene a NP e ogni problema NP si riduce a esso in tempo polinomiale
3.Strutture dati

Risposta: A · (i + 1) mod n

Perché è questa la risposta

L'operazione modulo riporta l'indice n − 1 a 0, così l'array viene riutilizzato senza spostare elementi.

Risposta

A · (i + 1) mod n
4.Strutture dati

Risposta: B · Porta con rotazioni il nodo acceduto fino alla radice

Perché è questa la risposta

L'operazione di splay sposta il nodo acceduto nella radice tramite rotazioni; una singola operazione può costare O(n), ma il costo ammortizzato è O(log n).

Risposta

B · Porta con rotazioni il nodo acceduto fino alla radice
5.Teoria dei grafi

Risposta: nessuna delle due

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Vertici dispari

A, C, D, F → 4
nessuna delle due

Risposta

nessuna delle due
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 3

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 1 0 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vicini comuni

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

Risposta

N = 3

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