Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è il tempo di esecuzione del radix sort LSD su n interi con d cifre in base k?

  1. AO(dn log k)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(d(n + k))
2.Algoritmi e complessitàDifficile

La moltiplicazione di Karatsuba soddisfa T(n) = 3T(n/2) + O(n). Qual è la soluzione?

  1. AΘ(nlog₂ 3), circa n1,585
  2. BΘ(n3)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.Strutture datiMedia

Una rete stradale ha 100,000 incroci, ciascuno collegato a circa altri 4. Quale rappresentazione è la più adatta?

  1. AMatrice di adiacenza
  2. BUn unico array ordinato di vertici
  3. CUn heap binario di archi
  4. DLista di adiacenza
4.Strutture datiDifficile

Quale struttura dati permette una cache LRU (least recently used) con get e put in O(1)?

  1. AUn singolo array ordinato
  2. BUna hash map combinata con una lista doppiamente concatenata
  3. CSolo uno stack
  4. DSolo un albero binario di ricerca
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 2 vertici di grado 3, 4 vertici di grado 4, 3 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

2 × deg 34 × deg 43 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
1012141563131115ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(d(n + k))

Perché è questa la risposta

Ciascuna delle d passate è un counting sort che costa O(n + k), quindi per d e k fissati il totale è lineare in n.

Risposta

D · O(d(n + k))
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Θ(nlog₂ 3), circa n1,585

Perché è questa la risposta

Poiché log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, per il teorema dell'esperto dominano le foglie, battendo il metodo scolastico O(n²).

Risposta

A · Θ(nlog₂ 3), circa n1,585
3.Strutture dati

Risposta: D · Lista di adiacenza

Perché è questa la risposta

Una matrice richiederebbe 1010 celle, quasi tutte vuote; una lista di adiacenza memorizza solo le circa 400,000 voci degli archi.

Risposta

D · Lista di adiacenza
4.Strutture dati

Risposta: B · Una hash map combinata con una lista doppiamente concatenata

Perché è questa la risposta

La hash map trova i nodi in O(1) e la lista doppiamente concatenata sposta in testa gli elementi acceduti ed espelle dal fondo in O(1).

Risposta

B · Una hash map combinata con una lista doppiamente concatenata
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 12

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 28 = 2(L + 9) − 2
L = 12

Risposta

L = 12

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 30

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 10, C: 12
B (10): D: 24, G: 23
C (12): E: 27
G (23)
D (24)
E (27): F: 30
F (30)

Cammino minimo

A → C → E → F
d(F) = 30

Risposta

d(F) = 30

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