Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

AO(2ⁿ)
BO(n log n)
CO(n²)
DO(n)

2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'algoritmo di Strassen moltiplica matrici usando 7 invece di 8 moltiplicazioni ricorsive di blocchi di metà dimensione. Qual è il suo tempo di esecuzione?

AΘ(n²)
BΘ(n² log n)
CΘ(n^{log₂ 7}), circa n^2,81
DΘ(n³)

3.Strutture datiMedia

Che cosa succede quando una tabella hash esegue il rehashing dopo che il fattore di carico ha superato una soglia?

ALe chiavi esistenti vengono ordinate sul posto
BSolo le chiavi in collisione vengono spostate in una nuova lista di overflow in fondo alla tabella
CSi alloca una tabella più grande e ogni chiave viene reinserita
DLe chiavi più vecchie vengono eliminate per fare spazio

4.Strutture datiDifficile

Nell'algoritmo di Kruskal per l'albero ricoprente minimo, a che cosa serve la struttura union-find?

AA scegliere il vertice di partenza
BA verificare se i due estremi di un arco sono già collegati
CA memorizzare la distanza corrente di ogni vertice dalla sorgente durante la visita
DA ordinare gli archi per peso

5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 6 vertici e 13 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 6|E| = 13

k =

6.Teoria dei grafiDifficile

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F

d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(2ⁿ)

Perché è questa la risposta

Il numero di chiamate raddoppia a ogni livello e ci sono n livelli, quindi il totale è circa 2ⁿ, come nella Torre di Hanoi.

Risposta

A · O(2ⁿ)

2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Θ(n^{log₂ 7}), circa n^2,81

Perché è questa la risposta

Con a = 7 e b = 2, n^{log₂ 7} domina il lavoro di addizione O(n²), da cui circa n^2,81.

Risposta

C · Θ(n^{log₂ 7}), circa n^2,81

3.Strutture dati

Risposta: C · Si alloca una tabella più grande e ogni chiave viene reinserita

Perché è questa la risposta

Poiché l'indice si calcola modulo la dimensione della tabella, tutte le chiavi devono essere ridistribuite nella nuova tabella più grande; raddoppiando la dimensione il costo resta O(1) ammortizzato.

Risposta

C · Si alloca una tabella più grande e ogni chiave viene reinserita

4.Strutture dati

Risposta: B · A verificare se i due estremi di un arco sono già collegati

Perché è questa la risposta

Find indica se entrambi gli estremi sono nella stessa componente; in caso contrario l'arco viene aggiunto e union fonde le componenti.

Risposta

B · A verificare se i due estremi di un arco sono già collegati

5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 8

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

6 − 1 = 5

Lati da togliere

k = 13 − 5 = 8

Risposta

k = 8

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 12

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 11, C: 5

C (5): B: 9, E: 11, G: 20

B (9)

E (11): D: 24, F: 12

F (12): D: 15

D (15): G: 16

G (16)

Cammino minimo

A → C → E → F

d(F) = 12

Risposta

d(F) = 12

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