Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Che cosa significa che un problema ha una sottostruttura ottima?

AIl problema ha esattamente una soluzione ottima, condivisa da ogni sottoproblema
BUna soluzione ottima può essere costruita da soluzioni ottime dei suoi sottoproblemi
CIl problema si può risolvere in tempo costante
DOgni sottoproblema ha la stessa dimensione

2.Algoritmi e complessitàDifficile

Che cosa seguirebbe se qualcuno trovasse un algoritmo in tempo polinomiale per un problema NP-completo?

AIl problema della fermata diventerebbe decidibile
BTutti gli algoritmi a tempo esponenziale diventerebbero subito lineari
COgni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP
DSolo quel problema passerebbe in P

3.Strutture datiMedia

Quanta memoria usa una lista di adiacenza per un grafo con V vertici ed E archi?

AO(V × E)
BO(V²)
CO(V + E)
DO(E²)

4.Strutture datiDifficile

Un array dinamico raddoppia quando è pieno. Perché molte implementazioni lo riducono solo quando è pieno per un quarto, e non per metà?

APer mantenere l'array ordinato
BPerché dimezzare a metà farebbe perdere elementi
CPerché l'allocatore di memoria può liberare memoria solo a quarti di blocco
DPer evitare ridimensionamenti ripetuti quando push e pop si alternano vicino alla soglia

5.Teoria dei grafiMedia

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 7|E| = 12

1Circuito euleriano
2Cammino euleriano, nessun circuito
3nessuna delle due

6.Teoria dei grafiDifficile

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 5; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 5

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Una soluzione ottima può essere costruita da soluzioni ottime dei suoi sottoproblemi

Perché è questa la risposta

La sottostruttura ottima è necessaria sia agli algoritmi greedy sia alla programmazione dinamica per produrre risposte corrette.

Risposta

B · Una soluzione ottima può essere costruita da soluzioni ottime dei suoi sottoproblemi

2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Ogni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP

Perché è questa la risposta

Poiché tutto NP si riduce in tempo polinomiale a qualsiasi problema NP-completo, un algoritmo veloce per uno fornisce un algoritmo veloce per tutti.

Risposta

C · Ogni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP

3.Strutture dati

Risposta: C · O(V + E)

Perché è questa la risposta

Ogni vertice ha una lista e ogni arco compare una volta (orientato) o due volte (non orientato), per un totale di O(V + E).

Risposta

C · O(V + E)

4.Strutture dati

Risposta: D · Per evitare ridimensionamenti ripetuti quando push e pop si alternano vicino alla soglia

Perché è questa la risposta

Ridurre a metà potrebbe provocare un ridimensionamento a ogni operazione in una sequenza del genere; il margine tra 1/4 e pieno mantiene il costo ammortizzato O(1).

Risposta

D · Per evitare ridimensionamenti ripetuti quando push e pop si alternano vicino alla soglia

5.Teoria dei grafi

Risposta: Circuito euleriano

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Vertici dispari

Circuito euleriano

Risposta

Circuito euleriano

6.Teoria dei grafi

Risposta: F

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 7, C: 4

2. C (4): B: 5, E: 16

3. B (5): D: 13

4. D (13): F: 14

5. F (14)

6. E (16)

passo 5

Risposta

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