Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Con monete da 1, 3 e 4 e un importo di 6, quante monete usa il metodo greedy "prima la moneta più grande", rispetto all'ottimo?

  1. AIl greedy usa 3 monete; l'ottimo è 3
  2. BIl greedy usa 4 monete; l'ottimo è 3
  3. CIl greedy usa 3 monete; l'ottimo è 2
  4. DIl greedy usa 2 monete; l'ottimo è 2
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Usando il teorema dell'esperto (master theorem), T(n) = 8T(n/2) + O(n²) ha come soluzione:

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.Strutture datiMedia

Un nodo di un albero binario di ricerca ha un sottoalbero destro. Dove si trova il suo successore in ordine?

  1. ANel nodo più a destra del suo sottoalbero sinistro
  2. BNel suo figlio destro, sempre
  3. CNel suo genitore, sempre
  4. DNel nodo più a sinistra del suo sottoalbero destro
4.Strutture datiDifficile

Un filtro di Bloom può rispondere alla domanda «questo elemento è nell'insieme?» con:

  1. APossibili falsi negativi ma nessun falso positivo
  2. BRisposte solo per numeri
  3. CRisposte sempre esatte
  4. DPossibili falsi positivi ma nessun falso negativo
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini chiusi di lunghezza 2 partono e terminano in A? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Il greedy usa 3 monete; l'ottimo è 2

Perché è questa la risposta

Il greedy prende 4 + 1 + 1 = 3 monete, ma 3 + 3 ne usa solo 2, quindi il greedy non è ottimo per questo sistema di monete; la programmazione dinamica sì.

Risposta

C · Il greedy usa 3 monete; l'ottimo è 2
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Θ(n³)

Perché è questa la risposta

log₂ 8 = 3 e n² cresce più lentamente di n³, quindi dominano le foglie: Θ(n³).

Risposta

A · Θ(n³)
3.Strutture dati

Risposta: D · Nel nodo più a sinistra del suo sottoalbero destro

Perché è questa la risposta

Tutte le chiavi maggiori vicine al nodo si trovano nel suo sottoalbero destro, e la più piccola di queste è il nodo più a sinistra di quel sottoalbero.

Risposta

D · Nel nodo più a sinistra del suo sottoalbero destro
4.Strutture dati

Risposta: D · Possibili falsi positivi ma nessun falso negativo

Perché è questa la risposta

Se uno qualsiasi dei bit di un elemento è 0, l'elemento è sicuramente assente; se sono tutti 1, è probabilmente presente. I filtri di Bloom sacrificano la precisione in cambio di pochissima memoria.

Risposta

D · Possibili falsi positivi ma nessun falso negativo
5.Teoria dei grafi

Risposta: Circuito euleriano

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Vertici dispari

0
Circuito euleriano

Risposta

Circuito euleriano
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 2

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Vicini comuni

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 2

Risposta

N = 2

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