Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Che cosa significa che un problema ha una sottostruttura ottima?

  1. AOgni sottoproblema ha la stessa dimensione
  2. BUna soluzione ottima può essere costruita da soluzioni ottime dei suoi sottoproblemi
  3. CIl problema si può risolvere in tempo costante
  4. DIl problema ha esattamente una soluzione ottima, condivisa da ogni sottoproblema
2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'ordinamento topologico è possibile solo per:

  1. AGrafi non orientati
  2. BGrafi orientati aciclici (DAG)
  3. CGrafi con pesi negativi
  4. DGrafi completi
3.Strutture datiMedia

Quanta memoria utilizza una matrice di adiacenza per un grafo con V vertici?

  1. AO(E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(log V)
  4. DO(V²)
4.Strutture datiDifficile

L'eliminazione di un nodo con due figli da un albero binario di ricerca avviene di solito:

  1. ARimuovendo l'intero sottoalbero
  2. BScambiandolo con la radice
  3. CRicostruendo da zero il sottoalbero sottostante e reinserendo tutte le chiavi che conteneva
  4. DSostituendolo con il suo successore in ordine (o predecessore) ed eliminando quel nodo
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 2 vertici di grado 3, 2 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

2 × deg 32 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
971310124617195ABCDEFG

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice A. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 2.

partenza: Ak = 2
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato DE
  6. 6lato DF
  7. 7lato EF
  8. 8lato GB
  9. 9lato GC
  10. 10lato GE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Una soluzione ottima può essere costruita da soluzioni ottime dei suoi sottoproblemi

Perché è questa la risposta

La sottostruttura ottima è necessaria sia agli algoritmi greedy sia alla programmazione dinamica per produrre risposte corrette.

Risposta

B · Una soluzione ottima può essere costruita da soluzioni ottime dei suoi sottoproblemi
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Grafi orientati aciclici (DAG)

Perché è questa la risposta

Un ordinamento topologico esiste se e solo se il grafo orientato non ha cicli; si può trovare in O(V + E) con la DFS o con l'algoritmo di Kahn.

Risposta

B · Grafi orientati aciclici (DAG)
3.Strutture dati

Risposta: D · O(V²)

Perché è questa la risposta

Una matrice di adiacenza memorizza V × V elementi ed è efficiente per grafi densi; le liste di adiacenza usano O(V + E), meglio per grafi sparsi.

Risposta

D · O(V²)
4.Strutture dati

Risposta: D · Sostituendolo con il suo successore in ordine (o predecessore) ed eliminando quel nodo

Perché è questa la risposta

Il successore in ordine ha al massimo un figlio, quindi può essere rimosso facilmente dopo averne copiato la chiave nel nodo da eliminare.

Risposta

D · Sostituendolo con il suo successore in ordine (o predecessore) ed eliminando quel nodo
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 4

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 10 = 2(L + 4) − 2
L = 4

Risposta

L = 4

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: lato AB

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. AC (7)
2. AB (9)
3. BD (10)
4. DF (4)
5. EF (6)
6. GE (5)

lato numero 2

AB

Risposta

lato AB

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