Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Nel problema della selezione di attività, quale regola greedy dà sempre il numero massimo di attività non sovrapposte?

  1. AScegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili
  2. BScegliere per prima l'attività più breve
  3. CScegliere l'attività che inizia prima
  4. DScegliere per prima l'attività con meno sovrapposizioni, poi ripetere con quelle compatibili
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è il costo ammortizzato dell'incremento di un contatore binario, dato che un incremento può invertire molti bit?

  1. AO(1) per incremento
  2. BO(n log n) per incremento
  3. CO(log n) per incremento
  4. DO(n) per incremento
3.Strutture datiMedia

Una tabella hash di dimensione 7 usa h(k) = k mod 7 e la scansione lineare. Dopo aver inserito 10, dove viene memorizzato 17?

  1. AAll'indice 4
  2. BAll'indice 3
  3. CAll'indice 0
  4. DAll'indice 6
4.Strutture datiDifficile

Quale struttura permette di calcolare il massimo di ogni finestra di dimensione k di un array in tempo totale O(n)?

  1. AUn min-heap ricostruito per ogni finestra
  2. BUna lista concatenata semplice degli elementi della finestra
  3. CUn array ordinato aggiornato con spostamenti
  4. DUna deque che contiene indici in ordine decrescente di valore
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
141912185281713ABCDEFG

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili

Perché è questa la risposta

Si può dimostrare con un argomento di scambio che scegliere il tempo di fine più precoce è ottimo; le altre regole hanno controesempi.

Risposta

A · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(1) per incremento

Perché è questa la risposta

Su n incrementi il bit i si inverte circa n / 2ⁱ volte, quindi il totale è inferiore a 2n inversioni, in media O(1) ciascuno.

Risposta

A · O(1) per incremento
3.Strutture dati

Risposta: A · All'indice 4

Perché è questa la risposta

10 mod 7 = 3 e 17 mod 7 = 3; l'indice 3 è occupato, quindi la scansione lineare prova la posizione successiva, l'indice 4.

Risposta

A · All'indice 4
4.Strutture dati

Risposta: D · Una deque che contiene indici in ordine decrescente di valore

Perché è questa la risposta

La testa della deque è sempre il massimo della finestra; ogni indice entra ed esce dalla deque una sola volta, quindi il lavoro è lineare.

Risposta

D · Una deque che contiene indici in ordine decrescente di valore
5.Teoria dei grafi

Risposta: Circuito euleriano

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vertici dispari

0
Circuito euleriano

Risposta

Circuito euleriano
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 58

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

EF (2): prendi
DF (5): prendi
GB (8): prendi
BD (12): prendi
GD (13): salta, chiude un ciclo
AC (14): prendi
GC (17): prendi

Peso totale

W = 2 + 5 + 8 + 12 + 14 + 17 = 58

Risposta

W = 58

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