Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Una funzione esegue un ciclo di n iterazioni e poi, separatamente, un altro ciclo di n iterazioni. Qual è la sua complessità temporale?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale affermazione sulla notazione o piccolo è corretta?

  1. An² = o(n)
  2. Bn = o(n²), ma n non è o(n)
  3. C2n = o(n), perché 2n cresce lentamente
  4. Dn = o(n), perché ogni funzione è o piccolo di se stessa
3.Strutture datiMedia

Quale tipo di dato astratto usa l'algoritmo di Dijkstra per scegliere il prossimo vertice da elaborare?

  1. AUn insieme senza ordinamento
  2. BUna coda FIFO
  3. CUna pila
  4. DUna coda con priorità di minimo
4.Strutture datiDifficile

Quanto tempo serve per cercare una chiave arbitraria in un min-heap binario di n elementi?

  1. AO(1)
  2. BO(log log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 18 vertici e 23 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 18|E| = 23
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
114181031217111516ABCDEFG

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice G. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 4.

partenza: Gk = 4
  1. 1lato AB
  2. 2lato BC
  3. 3lato BD
  4. 4lato DE
  5. 5lato DF
  6. 6lato EF
  7. 7lato GB
  8. 8lato GC
  9. 9lato GD
  10. 10lato GE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n)

Perché è questa la risposta

n + n = 2n, e i fattori costanti si eliminano, quindi la funzione è O(n).

Risposta

B · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · n = o(n²), ma n non è o(n)

Perché è questa la risposta

f = o(g) significa che f(n) / g(n) tende a 0; n / n² tende a 0, ma n / n = 1 no.

Risposta

B · n = o(n²), ma n non è o(n)
3.Strutture dati

Risposta: D · Una coda con priorità di minimo

Perché è questa la risposta

Una coda con priorità di minimo, di solito un heap binario, restituisce in modo efficiente il vertice non visitato con la distanza minima.

Risposta

D · Una coda con priorità di minimo
4.Strutture dati

Risposta: D · O(n)

Perché è questa la risposta

Un heap non fornisce alcuna regola su quale sottoalbero contenga una chiave, quindi nel caso peggiore bisogna controllare tutti i nodi; solo il minimo si trova rapidamente.

Risposta

D · O(n)
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 6

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

18 − 1 = 17

Lati da togliere

k = 23 − 17 = 6

Risposta

k = 6
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato GD

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. GC (11)
2. BC (14)
3. AB (1)
4. GD (15)
5. DF (3)
6. DE (10)

lato numero 4

GD

Risposta

lato GD

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