Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quale affermazione su una funzione ricorsiva senza un caso base raggiungibile è corretta?

AContinua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow
BViene eseguita in tempo O(1)
CIl compilatore la trasforma sempre in un ciclo che termina in modo sicuro
DRestituisce automaticamente 0

2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale di questi problemi di soddisfacibilità è noto per essere risolvibile in tempo polinomiale?

ALa soddisfacibilità dei circuiti
B3-SAT, in cui ogni clausola ha esattamente tre letterali
C2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali
DSAT generale su formule in forma normale congiuntiva

3.Strutture datiMedia

Una coda è implementata con due pile: push su una pila «in» e pop da una pila «out», che viene riempita da «in» quando è vuota. Qual è il costo ammortizzato per operazione?

AO(n²)
BO(1)
CO(log n)
DO(n)

4.Strutture datiDifficile

Per ogni elemento di un array vuoi il successivo elemento maggiore alla sua destra, in tempo totale O(n). Quale struttura aiuta?

AUna pila che conserva gli elementi in attesa della loro risposta
BUn albero binario di ricerca ricostruito per ogni elemento
CUna coda che contiene ogni coppia di elementi
DUna tabella hash di tutti gli elementi

5.Teoria dei grafiMedia

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 6|E| = 7

1Circuito euleriano
2Cammino euleriano, nessun circuito
3nessuna delle due

6.Teoria dei grafiDifficile

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F

d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Continua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow

Perché è questa la risposta

Senza caso base la ricorsione non si ferma mai; in pratica la memoria per gli stack frame si esaurisce e il programma va in crash.

Risposta

A · Continua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow

2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · 2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali

Perché è questa la risposta

2-SAT è in P (tempo lineare tramite componenti fortemente connesse), mentre 3-SAT è NP-completo.

Risposta

C · 2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali

3.Strutture dati

Risposta: B · O(1)

Perché è questa la risposta

Ogni elemento subisce in totale al massimo due push e due pop, quindi anche se un singolo riempimento può costare O(n), la media su una sequenza è O(1).

Risposta

B · O(1)

4.Strutture dati

Risposta: A · Una pila che conserva gli elementi in attesa della loro risposta

Perché è questa la risposta

Scorrendo da sinistra a destra, si estrae ogni elemento della pila minore di quello corrente (l'elemento corrente è la loro risposta), poi lo si inserisce; ogni elemento si sposta al massimo due volte.

Risposta

A · Una pila che conserva gli elementi in attesa della loro risposta

5.Teoria dei grafi

Risposta: Circuito euleriano

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Vertici dispari

Circuito euleriano

Risposta

Circuito euleriano

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 17

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 11, C: 8

C (8): E: 16

B (11): D: 21

E (16): F: 17

F (17)

D (21)

Cammino minimo

A → C → E → F

d(F) = 17

Risposta

d(F) = 17

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