Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale ammortizzata dell'aggiunta in coda a un array dinamico che raddoppia la capacità quando è pieno?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quali sono i costi in tempo e spazio del calcolo dell'n-esimo numero di Fibonacci con un ciclo che conserva solo gli ultimi due valori?

  1. ATempo O(2ⁿ) e spazio O(1)
  2. BTempo O(log n) e spazio O(n)
  3. CTempo O(n) e spazio O(1)
  4. DTempo O(n) e spazio O(n)
3.Strutture datiMedia

Quale struttura dati usa un programma in esecuzione per tenere traccia delle chiamate di funzione attive e delle loro variabili locali?

  1. AUna tabella hash di funzioni
  2. BUn albero binario di ricerca di frame
  3. CLo stack delle chiamate
  4. DLa coda della memoria heap
4.Strutture datiDifficile

L'algoritmo di Kahn per l'ordinamento topologico rimuove ripetutamente i vertici con grado entrante 0. Quale struttura contiene questi vertici?

  1. AUna coda (o una collezione qualsiasi) dei vertici con grado entrante 0
  2. BUna pila di tutti gli archi visitati
  3. CUn max-heap ordinato per grado uscente
  4. DUna matrice di adiacenza che registra quali vertici sono già stati rimossi
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 4 vertici di grado 5, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 34 × deg 5
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
811787141106ABCDEFG

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 4; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(1)

Perché è questa la risposta

La copia di tutti gli elementi avviene solo alle potenze di due; distribuito su tutte le aggiunte, il costo medio per aggiunta è costante.

Risposta

D · O(1)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Tempo O(n) e spazio O(1)

Perché è questa la risposta

Ogni passo richiede solo i due valori precedenti, quindi la tabella del metodo bottom-up può essere sostituita da due variabili.

Risposta

C · Tempo O(n) e spazio O(1)
3.Strutture dati

Risposta: C · Lo stack delle chiamate

Perché è questa la risposta

Ogni chiamata inserisce un record di attivazione (stack frame) e ogni ritorno lo estrae, ed è per questo che la chiamata più recente termina per prima.

Risposta

C · Lo stack delle chiamate
4.Strutture dati

Risposta: A · Una coda (o una collezione qualsiasi) dei vertici con grado entrante 0

Perché è questa la risposta

I vertici pronti si tengono in una coda; rimuoverne uno riduce il grado entrante dei suoi vicini, e quelli che arrivano a 0 vengono aggiunti, con un tempo O(V + E).

Risposta

A · Una coda (o una collezione qualsiasi) dei vertici con grado entrante 0
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 18

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 32 = 2(L + 8) − 2
L = 18

Risposta

L = 18

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: C

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 8, C: 11
2. B (8): D: 16, G: 9
3. G (9): E: 15
4. C (11)
5. E (15): F: 29
6. D (16)
7. F (29)

passo 4

C

Risposta

C

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