Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quale algoritmo trova i cammini minimi da una sorgente in un grafo con pesi degli archi non negativi?

  1. ABellman-Ford è necessario in tutti i casi
  2. BAlgoritmo di Dijkstra
  3. CVisita in profondità (DFS)
  4. DAlgoritmo di Kruskal
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Usando il teorema dell'esperto (master theorem), T(n) = 8T(n/2) + O(n²) ha come soluzione:

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n²)
3.Strutture datiMedia

Quale metodo di risoluzione delle collisioni memorizza le chiavi in collisione in una lista nello stesso bucket?

  1. AConcatenamento separato (separate chaining)
  2. BScansione quadratica (quadratic probing)
  3. CScansione lineare (linear probing)
  4. DDoppio hashing (double hashing)
4.Strutture datiDifficile

Per ogni elemento di un array vuoi il successivo elemento maggiore alla sua destra, in tempo totale O(n). Quale struttura aiuta?

  1. AUna coda che contiene ogni coppia di elementi
  2. BUn albero binario di ricerca ricostruito per ogni elemento
  3. CUna pila che conserva gli elementi in attesa della loro risposta
  4. DUna tabella hash di tutti gli elementi
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 2 vertici di grado 3, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

2 × deg 3
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini chiusi di lunghezza 2 partono e terminano in E? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Algoritmo di Dijkstra

Perché è questa la risposta

L'algoritmo di Dijkstra funziona con pesi non negativi; Bellman-Ford gestisce pesi negativi; Kruskal costruisce alberi ricoprenti minimi.

Risposta

B · Algoritmo di Dijkstra
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Θ(n³)

Perché è questa la risposta

log₂ 8 = 3 e n² cresce più lentamente di n³, quindi dominano le foglie: Θ(n³).

Risposta

A · Θ(n³)
3.Strutture dati

Risposta: A · Concatenamento separato (separate chaining)

Perché è questa la risposta

Il concatenamento mantiene una lista concatenata (o un'altra struttura) per ogni bucket; l'indirizzamento aperto cerca un'altra posizione libera all'interno della tabella stessa.

Risposta

A · Concatenamento separato (separate chaining)
4.Strutture dati

Risposta: C · Una pila che conserva gli elementi in attesa della loro risposta

Perché è questa la risposta

Scorrendo da sinistra a destra, si estrae ogni elemento della pila minore di quello corrente (l'elemento corrente è la loro risposta), poi lo si inserisce; ogni elemento si sposta al massimo due volte.

Risposta

C · Una pila che conserva gli elementi in attesa della loro risposta
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 4

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4

Risposta

L = 4

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 2

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Vicini comuni

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 2

Risposta

N = 2

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