Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale affermazione sulla selezione del k-esimo elemento più piccolo di un array non ordinato è corretta?

  1. AIl quickselect richiede O(log n) nel caso peggiore, perché ricorre su un solo lato del pivot
  2. BLa selezione richiede sempre Ω(n log n) perché richiede un ordinamento
  3. CIl quickselect richiede O(n) atteso, e la mediana delle mediane garantisce O(n) nel caso peggiore
  4. DLa selezione è possibile solo in O(n²)
3.Strutture datiMedia

Quanto dura la ricerca di una parola di lunghezza L in un trie con alfabeto fisso?

  1. AO(n), dove n è il numero di parole
  2. BO(log n), dove n è il numero di parole
  3. CO(L × n)
  4. DO(L), indipendentemente da quante parole sono memorizzate
4.Strutture datiDifficile

Perché un server potrebbe scegliere a caso la propria funzione hash da una famiglia universale?

  1. APer rendere ordinata la tabella hash
  2. BPer rendere molto improbabile che un attaccante scelga molte chiavi che collidono tutte
  3. CPer garantire che due chiavi non collidano mai, qualunque chiave invii un attaccante
  4. DPer eliminare la necessità di ridimensionare la tabella
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 19 vertici e 19 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 19|E| = 19
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
64318142029ABCDEF

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(n)

Perché è questa la risposta

Per il teorema dell'esperto (master theorem) nlog₂ 2 = n domina il lavoro costante, quindi T(n) = Θ(n), come quando si trova il massimo dividendo a metà.

Risposta

D · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Il quickselect richiede O(n) atteso, e la mediana delle mediane garantisce O(n) nel caso peggiore

Perché è questa la risposta

Il lavoro atteso del quickselect è n + n/2 + n/4 + ... = O(n) con pivot casuali; scegliere il pivot come mediana delle mediane rende lineare il caso peggiore.

Risposta

C · Il quickselect richiede O(n) atteso, e la mediana delle mediane garantisce O(n) nel caso peggiore
3.Strutture dati

Risposta: D · O(L), indipendentemente da quante parole sono memorizzate

Perché è questa la risposta

Ogni carattere seleziona un figlio, quindi una ricerca richiede L passi qualunque sia il numero di parole contenute nel trie.

Risposta

D · O(L), indipendentemente da quante parole sono memorizzate
4.Strutture dati

Risposta: B · Per rendere molto improbabile che un attaccante scelga molte chiavi che collidono tutte

Perché è questa la risposta

Con l'hashing universale il numero atteso di collisioni è piccolo per qualsiasi insieme di chiavi, perché l'attaccante non sa quale funzione è stata scelta.

Risposta

B · Per rendere molto improbabile che un attaccante scelga molte chiavi che collidono tutte
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 1

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

19 − 1 = 18

Lati da togliere

k = 19 − 18 = 1

Risposta

k = 1
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 36

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

DF (2): prendi
BC (3): prendi
AC (4): prendi
AB (6): salta, chiude un ciclo
BE (9): prendi
CE (14): salta, chiude un ciclo
BD (18): prendi

Peso totale

W = 2 + 3 + 4 + 9 + 18 = 36

Risposta

W = 36

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