Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale del calcolo dell'n-esimo numero di Fibonacci con una tabella bottom-up?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale algoritmo trova un albero ricoprente minimo aggiungendo ripetutamente l'arco più economico che non forma un ciclo?

  1. AAlgoritmo di Dijkstra
  2. BAlgoritmo di Prim a partire da un nodo
  3. CFloyd-Warshall
  4. DAlgoritmo di Kruskal
3.Strutture datiMedia

Quale struttura dati si usa per verificare se le parentesi in "{[()]}" sono bilanciate?

  1. AUna pila
  2. BUna coda
  3. CUn albero binario di ricerca
  4. DUna tabella hash
4.Strutture datiDifficile

Nell'algoritmo di Kruskal per l'albero ricoprente minimo, a che cosa serve la struttura union-find?

  1. AA ordinare gli archi per peso
  2. BA scegliere il vertice di partenza
  3. CA memorizzare la distanza corrente di ogni vertice dalla sorgente durante la visita
  4. DA verificare se i due estremi di un arco sono già collegati
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
951021215598ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n)

Perché è questa la risposta

Riempire la tabella da 0 a n richiede un'addizione per voce, quindi il lavoro è lineare anziché esponenziale.

Risposta

B · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Algoritmo di Kruskal

Perché è questa la risposta

Kruskal ordina gli archi per peso e li aggiunge se collegano componenti diverse; Prim fa crescere un unico albero a partire da un vertice iniziale.

Risposta

D · Algoritmo di Kruskal
3.Strutture dati

Risposta: A · Una pila

Perché è questa la risposta

Si inserisce (push) ogni parentesi aperta e si estrae (pop) quando compare una parentesi chiusa; questa deve corrispondere a quella estratta e alla fine la pila deve essere vuota.

Risposta

A · Una pila
4.Strutture dati

Risposta: D · A verificare se i due estremi di un arco sono già collegati

Perché è questa la risposta

Find indica se entrambi gli estremi sono nella stessa componente; in caso contrario l'arco viene aggiunto e union fonde le componenti.

Risposta

D · A verificare se i due estremi di un arco sono già collegati
5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Vertici dispari

C, E → 2
Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 16

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 9, C: 5
C (5): E: 17
B (9): D: 11
D (11): F: 16
F (16)
E (17)

Cammino minimo

A → B → D → F
d(F) = 16

Risposta

d(F) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms