Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quanti livelli ha la ricorsione del merge sort per un array di n elementi?

  1. ACirca n
  2. BCirca n / 2
  3. CCirca log₂ n
  4. DCirca √n
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché la ricerca binaria non dà tempo O(log n) su una lista concatenata semplice?

  1. AI confronti sui nodi di una lista concatenata sono più lenti
  2. BLe liste concatenate non si possono ordinare
  3. CRaggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice
  4. DLa ricerca binaria richiede almeno il doppio della memoria
3.Strutture datiMedia

Qual è la complessità temporale della ricerca di una chiave in un albero binario di ricerca bilanciato?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(1)
4.Strutture datiDifficile

Che cosa fa uno splay tree dopo ogni accesso?

  1. ARicolora i nodi lungo il cammino di ricerca
  2. BRicostruisce l'intero albero in forma bilanciata
  3. CPorta con rotazioni il nodo acceduto fino alla radice
  4. DSposta il nodo acceduto in una foglia
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K5? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K5
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini chiusi di lunghezza 3 partono e terminano in C? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 3
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Circa log₂ n

Perché è questa la risposta

Dimezzare da n fino a 1 richiede circa log₂ n livelli, e ogni livello svolge O(n) lavoro di fusione, da cui O(n log n).

Risposta

C · Circa log₂ n
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Raggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice

Perché è questa la risposta

La ricerca binaria richiede accesso O(1) all'elemento centrale; su una lista concatenata arrivarci costa tempo lineare, quindi il totale è O(n).

Risposta

C · Raggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice
3.Strutture dati

Risposta: A · O(log n)

Perché è questa la risposta

Un albero bilanciato ha un'altezza di circa log₂ n, quindi una ricerca segue un unico percorso dalla radice a una foglia.

Risposta

A · O(log n)
4.Strutture dati

Risposta: C · Porta con rotazioni il nodo acceduto fino alla radice

Perché è questa la risposta

L'operazione di splay sposta il nodo acceduto nella radice tramite rotazioni; una singola operazione può costare O(n), ma il costo ammortizzato è O(log n).

Risposta

C · Porta con rotazioni il nodo acceduto fino alla radice
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 12

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Risposta

H = 12
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 2

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Un altro passo

(M³)CC = 1·0 + 1·1 + 2·0 + 2·0 + 1·1 + 0·0 = 2

Risposta

N = 2

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