Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La visita in ampiezza (BFS) su un grafo non pesato trova:

  1. AI cammini minimi in grafi che contengono archi con peso negativo
  2. BI cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza
  3. CUn ordinamento topologico in tutti i grafi
  4. DL'albero ricoprente minimo
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché qualsiasi ricerca basata su confronti in un array ordinato richiede Ω(log n) confronti nel caso peggiore?

  1. AOgni confronto richiede un tempo logaritmico
  2. BOgni elemento deve essere confrontato almeno una volta
  3. CLa ricerca binaria è l'unico algoritmo possibile e richiede log₂ n confronti
  4. DUn albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n
3.Strutture datiMedia

Che cosa è vero per la matrice di adiacenza di un grafo non orientato?

  1. AÈ simmetrica rispetto alla diagonale principale
  2. BOgni riga contiene esattamente un 1
  3. CLa sua diagonale principale contiene sempre degli uno
  4. DÈ sempre triangolare superiore
4.Strutture datiDifficile

Inserendo una chiave in un albero AVL il sottoalbero sinistro di un nodo diventa troppo alto, e la nuova chiave è finita nel sottoalbero sinistro del suo figlio sinistro (caso sinistra-sinistra). Quale correzione si applica?

  1. AUna singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato
  2. BUna rotazione a sinistra sul figlio, poi una rotazione a destra sul nodo
  3. CLa ricolorazione del nodo e del figlio
  4. DUna singola rotazione a sinistra sul nodo sbilanciato
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 12 vertici e 22 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 12|E| = 22
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
111101291817ABCDE

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · I cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza

Perché è questa la risposta

La BFS visita i nodi in ordine di distanza (in archi) dalla sorgente, quindi trova i cammini minimi non pesati in O(V + E).

Risposta

B · I cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Un albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n

Perché è questa la risposta

Ogni confronto al massimo dimezza l'insieme delle possibilità rimanenti, quindi distinguere n posizioni richiede almeno log₂ n confronti.

Risposta

D · Un albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n
3.Strutture dati

Risposta: A · È simmetrica rispetto alla diagonale principale

Perché è questa la risposta

In un grafo non orientato l'arco {u, v} implica che siano impostati sia M[u][v] sia M[v][u], quindi la matrice coincide con la sua trasposta.

Risposta

A · È simmetrica rispetto alla diagonale principale
4.Strutture dati

Risposta: A · Una singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato

Perché è questa la risposta

Nel caso sinistra-sinistra una rotazione a destra solleva il figlio sinistro e ripristina il bilanciamento; i casi a zig-zag richiedono una doppia rotazione.

Risposta

A · Una singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 11

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

12 − 1 = 11

Lati da togliere

k = 22 − 11 = 11

Risposta

k = 11
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 32

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

AC (1): prendi
CE (9): prendi
BC (10): prendi
AB (11): salta, chiude un ciclo
BD (12): prendi

Peso totale

W = 1 + 9 + 10 + 12 = 32

Risposta

W = 32

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