Equazioni differenziali: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Equazioni differenziali

Crescita/decadimento esponenziale: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Tempo di dimezzamento: k = ln 2 / t_½
Legge di raffreddamento di Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fattore integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Serbatoio di miscelazione: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrali

Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integrale definito: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrali fondamentali: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Area tra due curve: ∫_a^b (f − g) dx

Metodo

Riscrivi, dove possibile, la funzione integranda come somma di termini semplici.
Applica la regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e gli integrali notevoli per e^x, 1/x, sin e cos.
Usa la sostituzione quando vedi insieme una funzione e la sua derivata.
Per un integrale definito calcola F(b) − F(a).

Derivate

Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′
Regola del quoziente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regola della catena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivate fondamentali: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodo

Identifica la struttura: somma, prodotto, quoziente o composizione.
Applica la regola della potenza a ogni potenza di x.
Usa la regola del prodotto, del quoziente o della catena dove serve.
Semplifica e, se richiesto, calcola il valore nel punto.

Metodi numerici

Bisezione: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolazione lineare: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Maggiorazione dell’errore dei trapezi: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Eulero: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodo

Per una radice: controlla il cambio di segno per la bisezione, oppure calcola f e f′ per Newton, e mantieni sei o più cifre in una tabella di iterate.
Per un valore di tabella: interpola linearmente tra i due punti vicini.
Per un integrale: trova h = (b − a)/n, elenca f in ogni nodo, applica i pesi (1, 2, …, 2, 1 per i trapezi; 1, 4, 2, …, 4, 1 per Simpson con n pari) e moltiplica per h/2 o h/3.
Per un’equazione differenziale: avanza da t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Eulero) o con la pendenza media (Heun), una riga per passo, fino a raggiungere il t richiesto.

2Esercizi

1.Equazioni differenzialiMedia

Un pezzo d’acciaio forgiato a 400 °C viene lasciato raffreddare in un’officina a 27 °C. Dopo 56 min la sua temperatura è 67 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Quanto tempo dopo l’inizio, t, impiega a raggiungere 47 °C?

T₀ = 400 °CT_a = 27 °CT(56) = 67 °CT = 47 °C

t = min

2.Equazioni differenzialiDifficile

Risolvi y′ + 3y = 9e^−2t con y(0) = 3. Trova y(2).

y′ + 3y = 9e^−2ty(0) = 3

y(2) =

3.IntegraliMedia

La regione sotto y = 2x da x = 0 a x = 3 viene ruotata attorno all’asse x. Trova il volume V del solido (un cono).

y = 2x0 ≤ x ≤ 3

V =

4.IntegraliDifficile

La regione tra la retta y = 4x e la parabola y = x² viene ruotata attorno all’asse x. Trova il volume V del solido.

y = 4xy = x²

V =

5.DerivateMedia

Sia f(x) = x·sin(2x), con x in radianti. Trova f′(0,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

6.DerivateDifficile

Sia f(x) = x³ − 3x + 3. Trova l'ascissa x del massimo locale.

f(x) = x³ − 3x + 3

x =

7.Metodi numericiMedia

La regola dei trapezi è usata per ∫₀² eˣ dx. L’errore è al più (b − a)³·M/(12n²) con M = max|f″| su [0, 2]. Trova il numero minimo di strisce n che garantisce un errore inferiore a 0,0001.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]ε = 0,0001

n =

8.Metodi numericiDifficile

Risolvi y′ = −2ty, y(0) = −1 con il metodo di Eulero e passo h = 0,1 fino a t = 0,5. La soluzione esatta è y = y₀e^−t². Trova l’errore globale |E| = |y(0,5) − y₅|.

y′ = −2tyy(0) = −1h = 0,1

|E| =

3Soluzioni

1.Equazioni differenziali

Risposta: t = 73,39 min

Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·e^kt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.

Costante di raffreddamento

k = ln(373/40)/56 = 0,03987 min⁻¹

Tempo per raggiungere la temperatura desiderata

t = ln(373/20)/0,03987 = 73,39 min

Risposta

t = 73,39 min

2.Equazioni differenziali

Risposta: y(2) = 0,15

Fattore integrante

μ = e^3t

(e^3ty)′ = 9e^t

Soluzione generale

y = 9/1·e^−2t + C·e^−3t = 9·e^−2t + C·e^−3t

Condizione iniziale

3 = 9 + C → C = −6

Calcola

y(2) = 9·0,01832 + (−6)·0,002479 = 0,15

Risposta

y(2) = 0,15

3.Integrali

Risposta: V = 113,1

Volumi di rotazione: ruotando attorno all’asse x la regione sotto y = f(x) da x = a a x = b si ottiene un solido la cui sezione in x è un disco di raggio f(x). Sommando i dischi si ha V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Quando la regione sta tra una curva esterna R(x) e una interna r(x), ogni fetta è una rondella: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleva al quadrato i raggi prima di sottrarli.

Metodo dei dischi

V = π∫₀³ 4x² dx

Integra

V = π·4·3³/3 = 113,1

Risposta

V = 113,1

Verifica: un cono di raggio 6 e altezza 3 ha (1/3)πr²h = 113,1.

4.Integrali

Risposta: V = 428,9

Punti di intersezione

4x = 1x² → x = 0, x = 4

Metodo delle rondelle

V = π∫₀⁴ ((4x)² − (1x²)²) dx

Integra

V = π(16·4³/3 − 1·4⁵/5) = π·136,5 = 428,9

Risposta

V = 428,9

5.Derivate

Risposta: f′(0.5) = 1,382

Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.

Regola del prodotto e della catena

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Sostituisci

f′(0,5) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Risposta

f′(0,5) = 1,382

6.Derivate

Risposta: x = −1

Derivata

f′(x) = 3x² − 3 = 3·(x² − 1)

Risolvi f′(x) = 0

x = −1 oppure x = 1

Qual è quale

f″(x) = 6x: negativa in un massimo, positiva in un minimo.

f″(−1) = −6, f″(1) = 6

x = −1

Risposta

x = −1

7.Metodi numerici

Risposta: n = 222

Integrazione numerica: dividi [a, b] in n strisce di larghezza h = (b − a)/n con nodi x₀ … xₙ. Regola dei trapezi: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regola di Simpson (n pari): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. L’errore dei trapezi diminuisce come h² (maggiorazione (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|), quello di Simpson come h⁴, quindi Simpson è di solito molto più accurata a parità di nodi.

Maggiorazione della derivata seconda

M = e² = 7,389

Ricava n

n² > 8·7,389/(12·0,0001) = 49260

n > 221,9 → n = 222

Risposta

n = 222

8.Metodi numerici

Risposta: |E| = 0,0348

Soluzione numerica di y′ = f(t, y): il metodo di Eulero avanza lungo la pendenza all’inizio di ogni passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Il metodo di Heun (Eulero migliorato) fa la media della pendenza all’inizio e in una previsione di Eulero: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Il metodo classico di Runge–Kutta (RK4) combina quattro pendenze: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’errore globale di Eulero è proporzionale a h, quello di Heun a h², quello di RK4 a h⁴.

Passi di Eulero

y₅ = −0,813604

Valore esatto

y(0,5) = −0,778801

Errore globale

|E| = |−0,778801 + 0,813604| = 0,0348

Grafico

Risposta

|E| = 0,0348

Dimezzare h dimezza all’incirca l’errore del metodo di Eulero.

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