Elettronica digitale: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Sistemi di numerazione

Pesi delle posizioni
binario 2k, ottale 8k, esadecimale 16k
In decimale
Σ dk·bk
Da decimale
dividi per la base e leggi i resti dal basso verso l’alto
Esadecimale ↔ binario
una cifra esadecimale = 4 bit
Complemento a due
inverti i bit e aggiungi 1

Logica digitale: porte, mappe K e flip-flop

Porte di base
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Regole booleane
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Ordine della mappa di Karnaugh
00, 01, 11, 10 (Gray code)
Gruppo di 2ᵏ celle
perde k variabili
Multiplexer 4 a 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
Flip-flop
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Contatori
n bit: 2ⁿ stati; mod N: n minimo con 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
Contatore asincrono (ripple)
fmax = 1/(n·tpd)
Contatori ad anello e Johnson
n e 2n stati

Metodo

  1. Per un circuito, procedi dagli ingressi all’uscita una porta alla volta e scrivi il valore su ogni filo, oppure scrivi la sua espressione e compila la tabella di verità.
  2. Per la semplificazione, riporta gli 1 (e le condizioni di indifferenza come X) in una mappa di Karnaugh con righe e colonne in codice Gray: 00, 01, 11, 10.
  3. Copri gli 1 con il minor numero possibile di gruppi, i più grandi possibile, di 1, 2, 4, 8 o 16 celle, richiudendoli sui bordi; ogni gruppo è un termine prodotto formato dalle variabili che restano costanti. Raggruppa gli 0 per la forma POS.
  4. Per flip-flop e contatori, leggi gli ingressi a ogni fronte attivo del clock, scrivi lo stato dopo ogni fronte e ricorda che un contatore a n bit ricomincia da capo dopo 2ⁿ stati.

Acquisizione dati e campionamento

Criterio di Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequenza di alias
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Passo di quantizzazione
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Errore di quantizzazione (arrotondamento)
±½ LSB
Codice di un ADC a troncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bit per una risoluzione r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideale, sinusoide a fondo scala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Velocità dei dati
canali × fs × N bit/s
ADC multiplexato
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bit per byte; byte/s = baud/bit per frame
Divisore del baud rate
baud = fclk/(16·D)

Metodo

  1. Scrivi i dati: frequenza di campionamento, frequenze del segnale, numero di bit, campo d’ingresso, baud rate.
  2. Nei problemi di campionamento confronta ogni frequenza con fs/2; una frequenza più alta compare a fa = |f − k·fs|, con il multiplo di fs più vicino.
  3. Nei problemi di risoluzione trova 1 LSB = VFSR/2ᴺ, oppure il più piccolo N con 2ᴺ ≥ campo/risoluzione.
  4. Per velocità dei dati e collegamenti UART conta tutto ciò che viene inviato: canali, campioni al secondo, bit o byte interi per campione, e i bit di start, parità e stop di ogni frame.

2Esercizi

1.Sistemi di numerazioneMedia
complemento a due a 8 bit0−12806403201608040201

Imposta i bit in modo che memorizzino −106 in complemento a due a 8 bit. Letto come numero senza segno, qual è il valore U dello schema?

N = −1068 bit
U =
2.Sistemi di numerazioneDifficile
clicca i bit per impostarli012806403201608040201

Imposta i bit sul risultato a 8 bit di 0010 0011 XOR 0011 1010. Qual è il valore R del risultato in decimale?

0010 0011XOR0011 1010
R =
3.Logica digitale: porte, mappe K e flip-flopMedia
ABC00011110011011131204051706

Usa la mappa di Karnaugh per trovare la forma minima a prodotto di somme (POS) di F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 3, 7). Quanti termini somma (fattori) N ha?

F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 3, 7)
N =
4.Logica digitale: porte, mappe K e flip-flopDifficile
DQ3​Q3​DQ2​Q2​DQ1​Q1​DQ0​Q0​CLKSHIFT

Un registro a scorrimento a 4 bit Q₃Q₂Q₁Q₀ contiene 1101. A ogni fronte di clock i bit scorrono di una posizione a destra (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀, Q₀ viene perso) e l’ingresso seriale entra in Q₃. L’ingresso seriale vale 0, 1, 0, 0, 0 nei 5 fronti. Dai lo stato finale Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ come numero decimale.

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 11010, 1, 0, 0, 0
Q =
5.Acquisizione dati e campionamentoMedia
128⋮8 ch∿01N = 162 kHz? MB

Un registratore campiona 8 canali a 2 kHz ciascuno con un ADC a 16 bit. Ogni campione è memorizzato in byte interi. Trova la memoria M necessaria per una registrazione di 15 min, in MB (1 MB = 10⁶ byte).

n = 8fs = 2 kHzN = 16t = 15 min
M = MB
6.Acquisizione dati e campionamentoDifficile
Vin​N = ?VFSR​2ᴺ − 101 LSB

Una misura audio richiede un rapporto segnale/rumore di quantizzazione ideale di almeno 96 dB per una sinusoide a fondo scala. Trova il più piccolo numero di bit dell’ADC N.

SQNR ≥ 96 dB
N =

3Soluzioni

1.Sistemi di numerazione

Risposta: U = 150

Impostare i bit: ogni bit vale una potenza di due (128, 64, …, 1). Una cifra esadecimale è esattamente quattro bit, e nel complemento a due a 8 bit il bit più a sinistra vale −128. Le operazioni bit a bit lavorano su ogni posizione di bit separatamente.

Inverti e aggiungi uno

106 = 0110 1010
invertito: 1001 0101
+1 → 1001 0110

Leggilo senza segno

1001 0110₂ = 256 − 106 = 150

Risposta

U = 150
2.Sistemi di numerazione

Risposta: R = 25

Impostare i bit: ogni bit vale una potenza di due (128, 64, …, 1). Una cifra esadecimale è esattamente quattro bit, e nel complemento a due a 8 bit il bit più a sinistra vale −128. Le operazioni bit a bit lavorano su ogni posizione di bit separatamente.

Bit per bit

XOR dà 1 dove i due bit sono diversi.

0010 0011
XOR 0011 1010
= 0001 1001

Valore del risultato

0001 1001₂ = 25

Risposta

R = 25
3.Logica digitale: porte, mappe K e flip-flop

Risposta: N = 2

Mappe di Karnaugh: le celle sono ordinate in codice Gray (00, 01, 11, 10), quindi le celle vicine, comprese quelle attraverso i bordi, differiscono per esattamente una variabile. Raggruppa gli 1 in rettangoli di 1, 2, 4, 8 o 16 celle, i più grandi e il meno numerosi possibile, finché ogni 1 non è coperto. Ogni gruppo è un termine prodotto: le variabili che restano costanti al suo interno. Un gruppo di 2ᵏ celle perde k variabili. Le condizioni di indifferenza (X) possono servire a ingrandire i gruppi ma non devono mai essere coperte. Raggruppando invece gli 0 si ottiene la forma POS minima.

ABC00011110011011131204051706

Raggruppa gli 0

Ogni gruppo è un rettangolo di 2ᵏ celle; le celle di bordo sono vicine alle celle del bordo opposto.

(A′ + C)
(A′ + B)

Forma POS minima

F = (A′ + C)(A′ + B)
N = 2

Risposta

N = 2
4.Logica digitale: porte, mappe K e flip-flop

Risposta: Q = 1

Flip-flop e contatori: un flip-flop cambia solo sul fronte attivo del clock. D copia il suo ingresso (Q⁺ = D); T commuta quando T = 1; JK mantiene per 00, azzera per 01, imposta a 1 per 10 e commuta per 11. Un contatore binario a n bit ha 2ⁿ stati e conta modulo 2ⁿ; un contatore modulo N conta 0, 1, …, N − 1 e torna a 0, e richiede il minimo n con 2ⁿ ≥ N flip-flop. Ogni stadio di un contatore asincrono (ripple) dimezza la frequenza, quindi l’ultima uscita di un contatore modulo N ha frequenza fclk/N. Un contatore Johnson di n flip-flop ha 2n stati, un contatore ad anello n.

Stato dopo ogni fronte

1101 → 0110 → 1011 → 0101 → 0010 → 0001

Valore decimale

0001₂ = 1

Risposta

Q = 1
5.Acquisizione dati e campionamento

Risposta: M = 28,8 MB

Velocità dei dati: ogni canale fornisce fs campioni al secondo da N bit, quindi la velocità grezza è canali × fs × N bit/s. In memoria un campione occupa byte interi (un campione a 12 bit è memorizzato in 2 byte), quindi la memoria per una registrazione è canali × fs × byte per campione × tempo. Un ADC multiplexato converte i canali uno dopo l’altro: ogni conversione (con assestamento) richiede t, quindi un giro di n canali richiede n·t e ogni canale è campionato a 1/(n·t).

Byte per campione

⌈16/8⌉ = 2 B

Byte al secondo

8·2000·2 = 32000 B/s

Memoria

M = 32000·900 = 2,88 × 10⁷ B = 28,8 MB

Risposta

M = 28,8 MB
6.Acquisizione dati e campionamento

Risposta: N = 16

Risoluzione dell’ADC: un convertitore a N bit divide il suo campo di fondo scala VFSR in 2ᴺ codici, da 0 a 2ᴺ − 1. Un passo è 1 LSB = VFSR/2ᴺ: la più piccola variazione che il convertitore può mostrare. Un ADC a troncamento dà il codice ⌊Vin/LSB⌋; un ADC ad arrotondamento non si discosta mai più di ½ LSB dal valore vero, il suo errore di quantizzazione. Ogni bit in più dimezza l’LSB e aggiunge circa 6 dB al rapporto segnale/rumore di quantizzazione ideale SQNR = 6,02·N + 1,76 dB per una sinusoide a fondo scala. Per ottenere una risoluzione r su un campo, scegli il più piccolo N con 2ᴺ ≥ campo/r.

Risolvi per N

N ≥ (96 − 1,76)/6,02 = 15,65

Arrotonda per eccesso

N = 16
verifica: 6,02·16 + 1,76 = 98,08 dB ≥ 96 dB

Risposta

N = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics