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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Sistemi di numerazione

Pesi delle posizioni: binario 2^k, ottale 8^k, esadecimale 16^k
In decimale: Σ d_k·b^k
Da decimale: dividi per la base e leggi i resti dal basso verso l’alto
Esadecimale ↔ binario: una cifra esadecimale = 4 bit
Complemento a due: inverti i bit e aggiungi 1

Logica digitale: porte, mappe K e flip-flop

Porte di base: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Regole booleane: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Ordine della mappa di Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Gruppo di 2ᵏ celle: perde k variabili
Multiplexer 4 a 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Contatori: n bit: 2ⁿ stati; mod N: n minimo con 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Contatore asincrono (ripple): f_max = 1/(n·t_pd)
Contatori ad anello e Johnson: n e 2n stati

Metodo

Per un circuito, procedi dagli ingressi all’uscita una porta alla volta e scrivi il valore su ogni filo, oppure scrivi la sua espressione e compila la tabella di verità.
Per la semplificazione, riporta gli 1 (e le condizioni di indifferenza come X) in una mappa di Karnaugh con righe e colonne in codice Gray: 00, 01, 11, 10.
Copri gli 1 con il minor numero possibile di gruppi, i più grandi possibile, di 1, 2, 4, 8 o 16 celle, richiudendoli sui bordi; ogni gruppo è un termine prodotto formato dalle variabili che restano costanti. Raggruppa gli 0 per la forma POS.
Per flip-flop e contatori, leggi gli ingressi a ogni fronte attivo del clock, scrivi lo stato dopo ogni fronte e ricorda che un contatore a n bit ricomincia da capo dopo 2ⁿ stati.

Acquisizione dati e campionamento

Criterio di Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequenza di alias: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Passo di quantizzazione: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Errore di quantizzazione (arrotondamento): ±½ LSB
Codice di un ADC a troncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bit per una risoluzione r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideale, sinusoide a fondo scala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Velocità dei dati: canali × f_s × N bit/s
ADC multiplexato: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bit per byte; byte/s = baud/bit per frame
Divisore del baud rate: baud = f_clk/(16·D)

Metodo

Scrivi i dati: frequenza di campionamento, frequenze del segnale, numero di bit, campo d’ingresso, baud rate.
Nei problemi di campionamento confronta ogni frequenza con f_s/2; una frequenza più alta compare a f_a = |f − k·f_s|, con il multiplo di f_s più vicino.
Nei problemi di risoluzione trova 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, oppure il più piccolo N con 2ᴺ ≥ campo/risoluzione.
Per velocità dei dati e collegamenti UART conta tutto ciò che viene inviato: canali, campioni al secondo, bit o byte interi per campione, e i bit di start, parità e stop di ogni frame.

2Esercizi

1.Sistemi di numerazioneMedia

Imposta i bit in modo che memorizzino −119 in complemento a due a 8 bit. Letto come numero senza segno, qual è il valore U dello schema?

N = −1198 bit

U =

2.Sistemi di numerazioneDifficile

Imposta i bit sul risultato a 8 bit di 1101 1101 OR 0001 0111. Qual è il valore R del risultato in decimale?

1101 1101OR0001 0111

R =

3.Logica digitale: porte, mappe K e flip-flopMedia

Usa la mappa di Karnaugh per trovare la forma minima a somma di prodotti (SOP) di F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 7, 10, 12, 13). Quanti termini prodotto N ha?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 7, 10, 12, 13)

N =

4.Logica digitale: porte, mappe K e flip-flopDifficile

Trova la forma SOP minima di F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 6, 8, 10, 14, 15) + d(4, 7), dove d indica le condizioni di indifferenza. Quanti termini prodotto N ha?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 6, 8, 10, 14, 15) + d(4, 7)

N =

5.Acquisizione dati e campionamentoMedia

Una sinusoide a 32 kHz è campionata a 20 kHz senza filtro anti-aliasing. A quale frequenza f_a compare nei campioni? Esprimila in kHz.

f = 32 kHzf_s = 20 kHz

f_a = kHz

6.Acquisizione dati e campionamentoDifficile

Un microcontrollore con clock a 12 MHz imposta il baud rate della UART come f_clk/(16·D), con D un numero intero arrotondato al valore più vicino. Il valore desiderato è 57600 baud. Trova l’errore percentuale del baud rate reale (positivo se è troppo veloce).

f_clk = 12 MHzvalore desiderato = 57600 Bd

e = %

3Soluzioni

1.Sistemi di numerazione

Risposta: U = 137

Impostare i bit: ogni bit vale una potenza di due (128, 64, …, 1). Una cifra esadecimale è esattamente quattro bit, e nel complemento a due a 8 bit il bit più a sinistra vale −128. Le operazioni bit a bit lavorano su ogni posizione di bit separatamente.

Inverti e aggiungi uno

119 = 0111 0111

invertito: 1000 1000

+1 → 1000 1001

Leggilo senza segno

1000 1001₂ = 256 − 119 = 137

Risposta

U = 137

2.Sistemi di numerazione

Risposta: R = 223

Bit per bit

OR dà 1 dove almeno un bit è 1.

1101 1101

OR 0001 0111

= 1101 1111

Valore del risultato

1101 1111₂ = 223

Risposta

R = 223

3.Logica digitale: porte, mappe K e flip-flop

Risposta: N = 4

Mappe di Karnaugh: le celle sono ordinate in codice Gray (00, 01, 11, 10), quindi le celle vicine, comprese quelle attraverso i bordi, differiscono per esattamente una variabile. Raggruppa gli 1 in rettangoli di 1, 2, 4, 8 o 16 celle, i più grandi e il meno numerosi possibile, finché ogni 1 non è coperto. Ogni gruppo è un termine prodotto: le variabili che restano costanti al suo interno. Un gruppo di 2ᵏ celle perde k variabili. Le condizioni di indifferenza (X) possono servire a ingrandire i gruppi ma non devono mai essere coperte. Raggruppando invece gli 0 si ottiene la forma POS minima.

Raggruppa gli 1

Ogni gruppo è un rettangolo di 2ᵏ celle; le celle di bordo sono vicine alle celle del bordo opposto.

A′BD

ABC′

A′B′C′D′

AB′CD′

Forma SOP minima

F = A′BD + ABC′ + A′B′C′D′ + AB′CD′

N = 4

Risposta

N = 4

4.Logica digitale: porte, mappe K e flip-flop

Risposta: N = 4

Implicanti primi

I gruppi più grandi che si possono formare con 1 e X.

CD′, BC, A′BD′, AB′D′, A′B′C′D

Copertura minima

F = CD′ + BC + AB′D′ + A′B′C′D

N = 4

Risposta

N = 4

5.Acquisizione dati e campionamento

Risposta: f_a = 8 kHz

Campionamento: un ADC misura il segnale f_s volte al secondo. Secondo il teorema di Nyquist–Shannon una frequenza f è acquisita correttamente solo finché f < f_s/2, la frequenza di Nyquist (di ripiegamento), quindi la frequenza di campionamento deve superare il doppio della frequenza più alta del segnale. Una frequenza più alta non va persa: compare come alias a f_a = |f − k·f_s|, con il numero intero k che porta il risultato tra 0 e f_s/2. I campioni non permettono di distinguere le due, quindi un filtro anti-aliasing analogico deve eliminare tutto ciò che sta sopra f_s/2 prima dell’ADC.

Frequenza di Nyquist

f_s/2 = 10 kHz < f = 32 kHz

Multiplo più vicino della frequenza di campionamento

k = round(32/20) = 2

Frequenza di alias

f_a = |32 − 2·20| = 8 kHz

Risposta

f_a = 8 kHz

La curva tratteggiata nella figura è l’alias: passa esattamente per gli stessi campioni.

6.Acquisizione dati e campionamento

Risposta: e = 0,1603 %

UART: un collegamento seriale asincrono invia ogni byte come un frame: un bit di start (basso), i bit di dati, un bit di parità facoltativo e uno o due bit di stop (alti). Il baud rate è il numero di bit al secondo, quindi un bit dura T_b = 1/baud e un frame di n bit dura n/baud. Il comune formato 8N1 ha 10 bit per byte. Il generatore di baud divide il clock: baud = f_clk/(16·D) con un numero intero D, quindi il baud rate reale differisce leggermente da quello desiderato; un errore sotto circa il 2 % di solito è accettabile.

Divisore

D = 12·10⁶/(16·57600) = 13,02 → 13

Baud rate reale

12·10⁶/(16·13) = 57692 Bd

Errore

(57692 − 57600)/57600·100 = 0,1603 %

Risposta

e = 0,1603 %

Un errore sotto circa il 2 % di solito è accettabile.

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