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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Sistemi di numerazione

Pesi delle posizioni: binario 2^k, ottale 8^k, esadecimale 16^k
In decimale: Σ d_k·b^k
Da decimale: dividi per la base e leggi i resti dal basso verso l’alto
Esadecimale ↔ binario: una cifra esadecimale = 4 bit
Complemento a due: inverti i bit e aggiungi 1

Logica digitale: porte, mappe K e flip-flop

Porte di base: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Regole booleane: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Ordine della mappa di Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Gruppo di 2ᵏ celle: perde k variabili
Multiplexer 4 a 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Contatori: n bit: 2ⁿ stati; mod N: n minimo con 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Contatore asincrono (ripple): f_max = 1/(n·t_pd)
Contatori ad anello e Johnson: n e 2n stati

Metodo

Per un circuito, procedi dagli ingressi all’uscita una porta alla volta e scrivi il valore su ogni filo, oppure scrivi la sua espressione e compila la tabella di verità.
Per la semplificazione, riporta gli 1 (e le condizioni di indifferenza come X) in una mappa di Karnaugh con righe e colonne in codice Gray: 00, 01, 11, 10.
Copri gli 1 con il minor numero possibile di gruppi, i più grandi possibile, di 1, 2, 4, 8 o 16 celle, richiudendoli sui bordi; ogni gruppo è un termine prodotto formato dalle variabili che restano costanti. Raggruppa gli 0 per la forma POS.
Per flip-flop e contatori, leggi gli ingressi a ogni fronte attivo del clock, scrivi lo stato dopo ogni fronte e ricorda che un contatore a n bit ricomincia da capo dopo 2ⁿ stati.

Acquisizione dati e campionamento

Criterio di Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequenza di alias: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Passo di quantizzazione: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Errore di quantizzazione (arrotondamento): ±½ LSB
Codice di un ADC a troncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bit per una risoluzione r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideale, sinusoide a fondo scala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Velocità dei dati: canali × f_s × N bit/s
ADC multiplexato: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bit per byte; byte/s = baud/bit per frame
Divisore del baud rate: baud = f_clk/(16·D)

Metodo

Scrivi i dati: frequenza di campionamento, frequenze del segnale, numero di bit, campo d’ingresso, baud rate.
Nei problemi di campionamento confronta ogni frequenza con f_s/2; una frequenza più alta compare a f_a = |f − k·f_s|, con il multiplo di f_s più vicino.
Nei problemi di risoluzione trova 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, oppure il più piccolo N con 2ᴺ ≥ campo/risoluzione.
Per velocità dei dati e collegamenti UART conta tutto ciò che viene inviato: canali, campioni al secondo, bit o byte interi per campione, e i bit di start, parità e stop di ogni frame.

2Esercizi

1.Sistemi di numerazioneMedia

Imposta i bit in modo che memorizzino −15 in complemento a due a 8 bit. Letto come numero senza segno, qual è il valore U dello schema?

N = −158 bit

U =

2.Sistemi di numerazioneDifficile

Imposta i bit sul risultato a 8 bit di 0111 0011 OR 0011 0101. Qual è il valore R del risultato in decimale?

0111 0011OR0011 0101

R =

3.Logica digitale: porte, mappe K e flip-flopMedia

Usa la mappa di Karnaugh per trovare la forma minima a prodotto di somme (POS) di F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 6, 7). Quanti termini somma (fattori) N ha?

F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 6, 7)

N =

4.Logica digitale: porte, mappe K e flip-flopDifficile

Per F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 6, 8, 9, 11, 13) + d(0, 14), dove d indica le condizioni di indifferenza, trova il numero N di implicanti primi essenziali.

F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 6, 8, 9, 11, 13) + d(0, 14)

N =

5.Acquisizione dati e campionamentoMedia

Una UART invia byte a 4800 baud nel formato 8E2: 8 bit di dati, un bit di parità pari e 2 bit di stop, più il bit di start. Trova il massimo numero di byte di dati al secondo che può trasferire.

baud = 4800 Bd8E2

R_B = B/s

6.Acquisizione dati e campionamentoDifficile

Un sensore di temperatura fornisce 10 mV/°C (0 V a 0 °C). Il suo segnale è amplificato 5 volte e inviato a un ADC a 10 bit con campo da 0 a 2,5 V (1 LSB = V_FSR/2ᴺ). Trova la variazione di temperatura ΔT_LSB corrispondente a un LSB.

S = 10 mV/°CG = 5N = 10V_FSR = 2,5 V

ΔT_LSB = °C

3Soluzioni

1.Sistemi di numerazione

Risposta: U = 241

Impostare i bit: ogni bit vale una potenza di due (128, 64, …, 1). Una cifra esadecimale è esattamente quattro bit, e nel complemento a due a 8 bit il bit più a sinistra vale −128. Le operazioni bit a bit lavorano su ogni posizione di bit separatamente.

Inverti e aggiungi uno

15 = 0000 1111

invertito: 1111 0000

+1 → 1111 0001

Leggilo senza segno

1111 0001₂ = 256 − 15 = 241

Risposta

U = 241

2.Sistemi di numerazione

Risposta: R = 119

Bit per bit

OR dà 1 dove almeno un bit è 1.

0111 0011

OR 0011 0101

= 0111 0111

Valore del risultato

0111 0111₂ = 119

Risposta

R = 119

3.Logica digitale: porte, mappe K e flip-flop

Risposta: N = 2

Mappe di Karnaugh: le celle sono ordinate in codice Gray (00, 01, 11, 10), quindi le celle vicine, comprese quelle attraverso i bordi, differiscono per esattamente una variabile. Raggruppa gli 1 in rettangoli di 1, 2, 4, 8 o 16 celle, i più grandi e il meno numerosi possibile, finché ogni 1 non è coperto. Ogni gruppo è un termine prodotto: le variabili che restano costanti al suo interno. Un gruppo di 2ᵏ celle perde k variabili. Le condizioni di indifferenza (X) possono servire a ingrandire i gruppi ma non devono mai essere coperte. Raggruppando invece gli 0 si ottiene la forma POS minima.

Raggruppa gli 0

Ogni gruppo è un rettangolo di 2ᵏ celle; le celle di bordo sono vicine alle celle del bordo opposto.

(A′ + B)

(A + B′ + C′)

Forma POS minima

F = (A′ + B)(A + B′ + C′)

N = 2

Risposta

N = 2

4.Logica digitale: porte, mappe K e flip-flop

Risposta: N = 2

Implicanti primi

I gruppi più grandi che si possono formare con 1 e X.

B′C′D′, B′CD, BCD′, A′C′D′, AC′D, A′BD′, AB′D, AB′C′

Implicanti primi essenziali

B′CD, AC′D

N = 2

Risposta

N = 2

5.Acquisizione dati e campionamento

Risposta: R_B = 400 B/s

UART: un collegamento seriale asincrono invia ogni byte come un frame: un bit di start (basso), i bit di dati, un bit di parità facoltativo e uno o due bit di stop (alti). Il baud rate è il numero di bit al secondo, quindi un bit dura T_b = 1/baud e un frame di n bit dura n/baud. Il comune formato 8N1 ha 10 bit per byte. Il generatore di baud divide il clock: baud = f_clk/(16·D) con un numero intero D, quindi il baud rate reale differisce leggermente da quello desiderato; un errore sotto circa il 2 % di solito è accettabile.

Bit per frame

1 + 8 + 1 + 2 = 12

Byte al secondo

4800/12 = 400 B/s

Risposta

R_B = 400 B/s

6.Acquisizione dati e campionamento

Risposta: ΔT_LSB = 0,04883 °C

Risoluzione dell’ADC: un convertitore a N bit divide il suo campo di fondo scala V_FSR in 2ᴺ codici, da 0 a 2ᴺ − 1. Un passo è 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: la più piccola variazione che il convertitore può mostrare. Un ADC a troncamento dà il codice ⌊V_in/LSB⌋; un ADC ad arrotondamento non si discosta mai più di ½ LSB dal valore vero, il suo errore di quantizzazione. Ogni bit in più dimezza l’LSB e aggiunge circa 6 dB al rapporto segnale/rumore di quantizzazione ideale SQNR = 6,02·N + 1,76 dB per una sinusoide a fondo scala. Per ottenere una risoluzione r su un campo, scegli il più piccolo N con 2ᴺ ≥ campo/r.

Passo di quantizzazione

1 LSB = 2500/1024 = 2,441 mV

Sensibilità all’ADC

10·5 = 50 mV/°C

Risoluzione in temperatura

ΔT_LSB = 2,441/50 = 0,04883 °C

Risposta

ΔT_LSB = 0,04883 °C

L’ADC arriva a fondo scala a 50 °C.

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