Elettronica digitale: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Sistemi di numerazione

Pesi delle posizioni: binario 2^k, ottale 8^k, esadecimale 16^k
In decimale: Σ d_k·b^k
Da decimale: dividi per la base e leggi i resti dal basso verso l’alto
Esadecimale ↔ binario: una cifra esadecimale = 4 bit
Complemento a due: inverti i bit e aggiungi 1

Logica digitale: porte, mappe K e flip-flop

Porte di base: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Regole booleane: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Ordine della mappa di Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Gruppo di 2ᵏ celle: perde k variabili
Multiplexer 4 a 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Contatori: n bit: 2ⁿ stati; mod N: n minimo con 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Contatore asincrono (ripple): f_max = 1/(n·t_pd)
Contatori ad anello e Johnson: n e 2n stati

Metodo

Per un circuito, procedi dagli ingressi all’uscita una porta alla volta e scrivi il valore su ogni filo, oppure scrivi la sua espressione e compila la tabella di verità.
Per la semplificazione, riporta gli 1 (e le condizioni di indifferenza come X) in una mappa di Karnaugh con righe e colonne in codice Gray: 00, 01, 11, 10.
Copri gli 1 con il minor numero possibile di gruppi, i più grandi possibile, di 1, 2, 4, 8 o 16 celle, richiudendoli sui bordi; ogni gruppo è un termine prodotto formato dalle variabili che restano costanti. Raggruppa gli 0 per la forma POS.
Per flip-flop e contatori, leggi gli ingressi a ogni fronte attivo del clock, scrivi lo stato dopo ogni fronte e ricorda che un contatore a n bit ricomincia da capo dopo 2ⁿ stati.

Acquisizione dati e campionamento

Criterio di Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequenza di alias: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Passo di quantizzazione: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Errore di quantizzazione (arrotondamento): ±½ LSB
Codice di un ADC a troncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bit per una risoluzione r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideale, sinusoide a fondo scala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Velocità dei dati: canali × f_s × N bit/s
ADC multiplexato: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bit per byte; byte/s = baud/bit per frame
Divisore del baud rate: baud = f_clk/(16·D)

Metodo

Scrivi i dati: frequenza di campionamento, frequenze del segnale, numero di bit, campo d’ingresso, baud rate.
Nei problemi di campionamento confronta ogni frequenza con f_s/2; una frequenza più alta compare a f_a = |f − k·f_s|, con il multiplo di f_s più vicino.
Nei problemi di risoluzione trova 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, oppure il più piccolo N con 2ᴺ ≥ campo/risoluzione.
Per velocità dei dati e collegamenti UART conta tutto ciò che viene inviato: canali, campioni al secondo, bit o byte interi per campione, e i bit di start, parità e stop di ogni frame.

2Esercizi

1.Sistemi di numerazioneMedia

Imposta i bit in modo che memorizzino −104 in complemento a due a 8 bit. Letto come numero senza segno, qual è il valore U dello schema?

N = −1048 bit

U =

2.Sistemi di numerazioneDifficile

Un sistema deve assegnare a ciascuno di 2734 elementi un proprio codice binario della stessa lunghezza. Qual è il numero minimo di bit b necessario?

2734

b = bit

3.Logica digitale: porte, mappe K e flip-flopMedia

Semplifica F = AB′C + AC′ + A′BC′ + A′B′C alla sua forma minima a somma di prodotti. Quanti letterali L contiene l’espressione semplificata?

F = AB′C + AC′ + A′BC′ + A′B′C

L =

4.Logica digitale: porte, mappe K e flip-flopDifficile

Un contatore modulo 13 deve attraversare 13 stati diversi. Qual è il numero minimo di flip-flop n di cui ha bisogno?

N = 13

n =

5.Acquisizione dati e campionamentoMedia

Una UART invia byte a 19200 baud nel formato 8N1: 8 bit di dati, nessuna parità e 1 bit di stop, più il bit di start. Trova il massimo numero di byte di dati al secondo che può trasferire.

baud = 19200 Bd8N1

R_B = B/s

6.Acquisizione dati e campionamentoDifficile

Un microcontrollore con clock a 32 MHz imposta il baud rate della UART come f_clk/(16·D), con D un numero intero arrotondato al valore più vicino. Il valore desiderato è 115200 baud. Trova l’errore percentuale del baud rate reale (positivo se è troppo veloce).

f_clk = 32 MHzvalore desiderato = 115200 Bd

e = %

3Soluzioni

1.Sistemi di numerazione

Risposta: U = 152

Impostare i bit: ogni bit vale una potenza di due (128, 64, …, 1). Una cifra esadecimale è esattamente quattro bit, e nel complemento a due a 8 bit il bit più a sinistra vale −128. Le operazioni bit a bit lavorano su ogni posizione di bit separatamente.

Inverti e aggiungi uno

104 = 0110 1000

invertito: 1001 0111

+1 → 1001 1000

Leggilo senza segno

1001 1000₂ = 256 − 104 = 152

Risposta

U = 152

2.Sistemi di numerazione

Risposta: b = 12 bit

Sistemi di numerazione posizionali: ogni cifra vale il suo valore per una potenza della base. In binario le posizioni valgono 1, 2, 4, 8, 16, …; in esadecimale 1, 16, 256, …, con A–F per 10–15. Nel complemento a due a 8 bit il bit più a sinistra vale −128 invece di +128: così si memorizzano i numeri negativi.

Potenze di due

2¹¹ = 2048 < 2734

2¹² = 4096 ≥ 2734

Risposta

b = 12

3.Logica digitale: porte, mappe K e flip-flop

Risposta: L = 6

Algebra di Boole: le regole che semplificano le espressioni sono X + X′ = 1 e X·X′ = 0, X + X = X, l’assorbimento X + X·Y = X, la regola di combinazione X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y e il teorema del consenso XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Le leggi di De Morgan trasformano (X·Y)′ in X′ + Y′ e (X + Y)′ in X′·Y′. Una mappa di Karnaugh applica queste regole in forma grafica: ogni gruppo di due celle vicine è un uso di XY + XY′ = X.

Mintermini dell’espressione

AB′C → m(5)

AC′ → m(4, 6)

A′BC′ → m(2)

A′B′C → m(1)

Raggruppa e leggi

F = B′C + BC′ + AC′

Conta i letterali

L = 6

Risposta

L = 6

Esiste un altro raggruppamento della stessa dimensione; ha lo stesso numero di letterali.

4.Logica digitale: porte, mappe K e flip-flop

Risposta: n = 4

Flip-flop e contatori: un flip-flop cambia solo sul fronte attivo del clock. D copia il suo ingresso (Q⁺ = D); T commuta quando T = 1; JK mantiene per 00, azzera per 01, imposta a 1 per 10 e commuta per 11. Un contatore binario a n bit ha 2ⁿ stati e conta modulo 2ⁿ; un contatore modulo N conta 0, 1, …, N − 1 e torna a 0, e richiede il minimo n con 2ⁿ ≥ N flip-flop. Ogni stadio di un contatore asincrono (ripple) dimezza la frequenza, quindi l’ultima uscita di un contatore modulo N ha frequenza f_clk/N. Un contatore Johnson di n flip-flop ha 2n stati, un contatore ad anello n.

Numero di flip-flop

2ⁿ ≥ 13 → n = 4 (2⁴ = 16)

Risposta

n = 4

5.Acquisizione dati e campionamento

Risposta: R_B = 1920 B/s

UART: un collegamento seriale asincrono invia ogni byte come un frame: un bit di start (basso), i bit di dati, un bit di parità facoltativo e uno o due bit di stop (alti). Il baud rate è il numero di bit al secondo, quindi un bit dura T_b = 1/baud e un frame di n bit dura n/baud. Il comune formato 8N1 ha 10 bit per byte. Il generatore di baud divide il clock: baud = f_clk/(16·D) con un numero intero D, quindi il baud rate reale differisce leggermente da quello desiderato; un errore sotto circa il 2 % di solito è accettabile.

Bit per frame

1 + 8 + 0 + 1 = 10

Byte al secondo

19200/10 = 1920 B/s

Risposta

R_B = 1920 B/s

6.Acquisizione dati e campionamento

Risposta: e = 2,124 %

Divisore

D = 32·10⁶/(16·115200) = 17,36 → 17

Baud rate reale

32·10⁶/(16·17) = 117647 Bd

Errore

(117647 − 115200)/115200·100 = 2,124 %

Risposta

e = 2,124 %

Un errore sopra circa il 2 % rende il collegamento inaffidabile: scegli un altro clock o un altro baud rate.

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