Disegna un diagramma di Venn e decidi regione per regione che cosa appartiene all’espressione insiemistica.
Nei problemi di conteggio, riempi le regioni dal centro verso l’esterno: prima tutti gli insiemi, poi le coppie, poi i singoli insiemi, infine l’esterno.
Usa il principio di inclusione-esclusione come verifica: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Per una relazione, verifica ogni proprietà su ogni coppia e fornisci un controesempio quando non vale.
Per una funzione, conta le frecce che arrivano a ciascun elemento di B: al più una significa iniettiva, almeno una suriettiva.
Teoria dei grafi
Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij
Metodo
Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).
Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Divisione con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclide
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Minimo comune multiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruenza lineare
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Funzione φ di Eulero
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metodo
Riduci prima ogni numero modulo n; i resti sono compresi tra 0 e n − 1.
Per un MCD, dividi ripetutamente con l’algoritmo di Euclide; l’ultimo resto diverso da zero è il MCD.
Per un inverso, esegui l’algoritmo esteso e tieni il coefficiente di a; aggiungi n se è negativo.
Risolvi a·x ≡ b moltiplicando per a⁻¹; combina due congruenze scrivendo x = r₁ + m₁k.
Per le potenze, scrivi l’esponente in binario ed eleva al quadrato ripetutamente; in RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Esercizi
1.Logica proposizionale e dimostrazioniMedia
Vuoi dimostrare (c ∨ b) → a per contrapposizione. Quale implicazione dimostri al suo posto? Clicca su di essa.
(c ∨ b) → a
1¬a → ¬(c ∨ b)
2a → (c ∨ b)
3¬(c ∨ b) → ¬a
4(c ∨ b) ∧ ¬a
2.Logica proposizionale e dimostrazioniDifficile
Quante delle 16 righe della tabella di verità rendono vera ((p ∨ r) ∧ s) ∨ (q ∧ p)? Chiama questo numero N.
((p ∨ r) ∧ s) ∨ (q ∧ p)
N =
3.Insiemi, relazioni e funzioniMedia
Ogni numero nel diagramma di Venn è il numero di elementi di quella regione. Trova |(A ∪ C)′|.
|U| = 66
|(A ∪ C)′| =
4.Insiemi, relazioni e funzioniDifficile
Il diagramma a frecce mostra una funzione f: A → B con A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c, d}. Clicca la descrizione che si adatta a f.
f = {(1, b), (2, c), (3, a), (4, c)}
1iniettiva, non suriettiva
2suriettiva, non iniettiva
3biiettiva
4nessuna delle due
5.Teoria dei grafiMedia
Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K7? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.
K7
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.
|V| = 5|E| = 7
W =
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulareMedia
Trova l’inverso di 7 modulo 13: il numero x con 0 < x < 13 e 7·x ≡ 1 (mod 13).
a = 7n = 13
7−1 mod 13 =
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulareDifficile
Quante soluzioni N ha 6x ≡ 36 (mod 39) in {0, 1, …, 38}?
6x ≡ 36 (mod 39)
N =
3Soluzioni
1.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: ¬a → ¬(c ∨ b)
Equivalenza logica: due formule sono equivalenti (≡) quando hanno lo stesso valore in ogni riga della tabella di verità. Una tautologia vale 1 in ogni riga, una contraddizione vale 0 in ogni riga, e una contingenza non è né l’una né l’altra. Leggi utili: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contronominale); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e le leggi distributive, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Parti dell’implicazione
a = c ∨ b, b = a
Contronominale
¬b → ¬a = ¬a → ¬(c ∨ b)
Risposta
¬a → ¬(c ∨ b)
La contronominale è equivalente all’enunciato originale, quindi dimostrarla dimostra l’enunciato.
2.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: N = 8
Tabelle di verità: una formula con n variabili distinte ha 2ⁿ righe, una per ogni combinazione di valori di verità (1 = vero, 0 = falso). Procedi dall’interno verso l’esterno e dai a ogni sottoformula una colonna propria. ¬a inverte il valore; a ∧ b vale 1 solo quando entrambi valgono 1; a ∨ b vale 0 solo quando entrambi valgono 0; a → b vale 0 solo quando a = 1 e b = 0; a ↔ b vale 1 quando i due lati sono uguali.
Insiemi e diagrammi di Venn: A ∪ B contiene gli elementi in A o in B (o in entrambi), A ∩ B gli elementi in entrambi, A − B gli elementi di A che non sono in B, e il complementare A′ tutto ciò che è in U e non in A. In un diagramma di Venn ogni espressione insiemistica è un’unione di regioni, quindi contala regione per regione. Inclusione-esclusione: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, e |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Regioni dell’espressione
A′ ∩ B′ ∩ C′: 5
A′ ∩ B ∩ C′: 10
Somma
|(A ∪ C)′| = 5 + 10 = 15
Risposta
|(A ∪ C)′| = 15
4.Insiemi, relazioni e funzioni
Risposta: nessuna delle due
Funzioni e conteggio: una funzione f: A → B assegna a ogni elemento di A esattamente un’immagine in B. f è iniettiva (uno a uno) quando elementi diversi hanno immagini diverse, suriettiva (su) quando ogni elemento di B è un’immagine, e biiettiva quando valgono entrambe. Con |A| = m e |B| = n ci sono nᵐ funzioni, n!/(n − m)! iniettive (m ≤ n), e per inclusione-esclusione Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ suriettive. |𝒫(A)| = 2ᵐ e |A × B| = m·n.
Iniettiva?
f(2) = f(4) = c → non iniettiva
Suriettiva?
d non riceve alcuna freccia → non suriettiva
Risposta
nessuna delle due
Risposta
nessuna delle due
5.Teoria dei grafi
Risposta: H = 360
Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.
Conta
H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360
Risposta
H = 360
6.Teoria dei grafi
Risposta: W = 44
Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.
Algoritmo di Kruskal
AC (3): prendi
CE (12): prendi
BE (13): prendi
BC (15): salta, chiude un ciclo
BD (16): prendi
Peso totale
W = 3 + 12 + 13 + 16 = 44
Risposta
W = 44
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: 7−1 mod 13 = 2
Inversi e congruenze: a ha un inverso modulo n esattamente quando MCD(a, n) = 1. L’algoritmo di Euclide esteso scrive 1 = s·n + t·a, e allora a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruenza a·x ≡ b (mod n) con MCD(a, n) = 1 ha la soluzione x ≡ a⁻¹·b. Due congruenze x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) con moduli coprimi hanno una soluzione modulo m₁·m₂ (teorema cinese del resto). La φ di Eulero φ(n) conta i numeri da 1 a n coprimi con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo di Euclide esteso
Ogni resto r si scrive r ≡ t·7 (mod 13).
r = 13, t = 0
r = 7, q = 1, t = 1
r = 6, q = 1, t = −1
r = 1, q = 6, t = 2
Inversa
1 ≡ 2·7 (mod 13)
x = 2
verifica: 7·2 = 14 = 1·13 + 1
Risposta
7−1 mod 13 = 2
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: N = 3
Inversi e congruenze: a ha un inverso modulo n esattamente quando MCD(a, n) = 1. L’algoritmo di Euclide esteso scrive 1 = s·n + t·a, e allora a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruenza a·x ≡ b (mod n) con MCD(a, n) = 1 ha la soluzione x ≡ a⁻¹·b. Due congruenze x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) con moduli coprimi hanno una soluzione modulo m₁·m₂ (teorema cinese del resto). La φ di Eulero φ(n) conta i numeri da 1 a n coprimi con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).