Disegna un diagramma di Venn e decidi regione per regione che cosa appartiene all’espressione insiemistica.
Nei problemi di conteggio, riempi le regioni dal centro verso l’esterno: prima tutti gli insiemi, poi le coppie, poi i singoli insiemi, infine l’esterno.
Usa il principio di inclusione-esclusione come verifica: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Per una relazione, verifica ogni proprietà su ogni coppia e fornisci un controesempio quando non vale.
Per una funzione, conta le frecce che arrivano a ciascun elemento di B: al più una significa iniettiva, almeno una suriettiva.
Teoria dei grafi
Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij
Metodo
Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).
Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Divisione con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclide
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Minimo comune multiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruenza lineare
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Funzione φ di Eulero
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metodo
Riduci prima ogni numero modulo n; i resti sono compresi tra 0 e n − 1.
Per un MCD, dividi ripetutamente con l’algoritmo di Euclide; l’ultimo resto diverso da zero è il MCD.
Per un inverso, esegui l’algoritmo esteso e tieni il coefficiente di a; aggiungi n se è negativo.
Risolvi a·x ≡ b moltiplicando per a⁻¹; combina due congruenze scrivendo x = r₁ + m₁k.
Per le potenze, scrivi l’esponente in binario ed eleva al quadrato ripetutamente; in RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Esercizi
1.Logica proposizionale e dimostrazioniMedia
Vuoi dimostrare (q ∨ r) → p per contrapposizione. Quale implicazione dimostri al suo posto? Clicca su di essa.
(q ∨ r) → p
1¬(q ∨ r) → ¬p
2(q ∨ r) ∧ ¬p
3¬p → ¬(q ∨ r)
4p → (q ∨ r)
2.Logica proposizionale e dimostrazioniDifficile
Quale enunciato è equivalente a ¬∀x ∃y R(x, y), con la negazione spostata fino in fondo all’interno? Clicca su di esso.
¬∀x ∃y R(x, y)
1∃x ∀y ¬R(x, y)
2∀x ∃y ¬R(x, y)
3∀x ∀y ¬R(x, y)
4∃y ∀x ¬R(x, y)
3.Insiemi, relazioni e funzioniMedia
R = {(2, 1), (3, 2), (3, 3)} è una relazione su {1, 2, 3}. Qual è il numero minimo k di coppie ordinate da aggiungere a R per renderla transitiva (la dimensione della chiusura transitiva meno |R|)?
R = {(2, 1), (3, 2), (3, 3)}
k =
4.Insiemi, relazioni e funzioniDifficile
Una relazione di equivalenza R su {1, …, 8} ha le classi {5, 6, 7, 8}, {1}, {2, 3, 4}. Quante coppie ordinate contiene R? Chiama il numero |R|.
{5, 6, 7, 8}{1}{2, 3, 4}
|R| =
5.Teoria dei grafiMedia
Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K4? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.
K4
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.
partenza: Aarrivo: F
d(F) =
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulareMedia
Trova l’inverso di 15 modulo 97: il numero x con 0 < x < 97 e 15·x ≡ 1 (mod 97).
a = 15n = 97
15−1 mod 97 =
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulareDifficile
Una chiave RSA usa i primi p = 7 e q = 47 e l’esponente pubblico e = 11. Trova l’esponente privato d (0 < d < φ(n)).
p = 7q = 47e = 11
d =
3Soluzioni
1.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: ¬p → ¬(q ∨ r)
Equivalenza logica: due formule sono equivalenti (≡) quando hanno lo stesso valore in ogni riga della tabella di verità. Una tautologia vale 1 in ogni riga, una contraddizione vale 0 in ogni riga, e una contingenza non è né l’una né l’altra. Leggi utili: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contronominale); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e le leggi distributive, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Parti dell’implicazione
a = q ∨ r, b = p
Contronominale
¬b → ¬a = ¬p → ¬(q ∨ r)
Risposta
¬p → ¬(q ∨ r)
La contronominale è equivalente all’enunciato originale, quindi dimostrarla dimostra l’enunciato.
2.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: ∃x ∀y ¬R(x, y)
Quantificatori e argomenti: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Sposta una negazione verso l’interno, scambia ogni quantificatore che attraversa e nega la formula interna con le leggi proposizionali, come ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argomento è valido quando la conclusione vale 1 in ogni riga in cui tutte le premesse valgono 1. Una sola riga con premesse vere e conclusione falsa è un controesempio e mostra che l’argomento non è valido.
Sposta la negazione verso l’interno
¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)
Risposta
∃x ∀y ¬R(x, y)
Le altre opzioni lasciano invariato un quantificatore, cambiano l’ordine dei quantificatori oppure negano in modo errato la formula interna.
3.Insiemi, relazioni e funzioni
Risposta: k = 1
Relazioni: una relazione R su un insieme X è un insieme di coppie ordinate (x, y). R è riflessiva quando (x, x) ∈ R per ogni x in X; simmetrica quando (x, y) ∈ R comporta sempre (y, x) ∈ R; antisimmetrica quando (x, y) e (y, x) sono entrambe in R solo se x = y; e transitiva quando (x, y) e (y, z) in R implicano (x, z) ∈ R. Una relazione di equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva, e divide X in classi disgiunte.
Coppie da aggiungere
{(3, 1)}
Conta
k = 1
Risposta
k = 1
4.Insiemi, relazioni e funzioni
Risposta: |R| = 26
Relazioni: una relazione R su un insieme X è un insieme di coppie ordinate (x, y). R è riflessiva quando (x, x) ∈ R per ogni x in X; simmetrica quando (x, y) ∈ R comporta sempre (y, x) ∈ R; antisimmetrica quando (x, y) e (y, x) sono entrambe in R solo se x = y; e transitiva quando (x, y) e (y, z) in R implicano (x, z) ∈ R. Una relazione di equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva, e divide X in classi disgiunte.
Coppie per classe
|R| = 4² + 1² + 3² = 26
Risposta
|R| = 26
5.Teoria dei grafi
Risposta: H = 3
Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.
Conta
H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3
Risposta
H = 3
6.Teoria dei grafi
Risposta: d(F) = 24
Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.
Dijkstra passo per passo
Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.
A (0): B: 15, C: 3
C (3): B: 11, E: 6
E (6): D: 18
B (11): D: 15
D (15): F: 24
F (24)
Cammino minimo
A → C → B → D → F
d(F) = 24
Risposta
d(F) = 24
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: 15−1 mod 97 = 13
Inversi e congruenze: a ha un inverso modulo n esattamente quando MCD(a, n) = 1. L’algoritmo di Euclide esteso scrive 1 = s·n + t·a, e allora a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruenza a·x ≡ b (mod n) con MCD(a, n) = 1 ha la soluzione x ≡ a⁻¹·b. Due congruenze x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) con moduli coprimi hanno una soluzione modulo m₁·m₂ (teorema cinese del resto). La φ di Eulero φ(n) conta i numeri da 1 a n coprimi con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo di Euclide esteso
Ogni resto r si scrive r ≡ t·15 (mod 97).
r = 97, t = 0
r = 15, q = 6, t = 1
r = 7, q = 2, t = −6
r = 1, q = 7, t = 13
Inversa
1 ≡ 13·15 (mod 97)
x = 13
verifica: 15·13 = 195 = 2·97 + 1
Risposta
15−1 mod 97 = 13
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: d = 251
Potenze modulari e RSA: calcola aᵏ mod n con il quadrato ripetuto: scrivi k in binario, eleva al quadrato, riduci a ogni passaggio e moltiplica le potenze il cui bit è 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) per un primo p che non divide a, quindi l’esponente si può ridurre modulo p − 1. RSA: scegli i primi p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); l’esponente pubblico e è coprimo con φ(n), e l’esponente privato è d = e⁻¹ mod φ(n). Cifra con c = mᵉ mod n e decifra con m = cᵈ mod n.