Disegna un diagramma di Venn e decidi regione per regione che cosa appartiene all’espressione insiemistica.
Nei problemi di conteggio, riempi le regioni dal centro verso l’esterno: prima tutti gli insiemi, poi le coppie, poi i singoli insiemi, infine l’esterno.
Usa il principio di inclusione-esclusione come verifica: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Per una relazione, verifica ogni proprietà su ogni coppia e fornisci un controesempio quando non vale.
Per una funzione, conta le frecce che arrivano a ciascun elemento di B: al più una significa iniettiva, almeno una suriettiva.
Teoria dei grafi
Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij
Metodo
Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).
Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Divisione con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclide
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Minimo comune multiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruenza lineare
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Funzione φ di Eulero
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metodo
Riduci prima ogni numero modulo n; i resti sono compresi tra 0 e n − 1.
Per un MCD, dividi ripetutamente con l’algoritmo di Euclide; l’ultimo resto diverso da zero è il MCD.
Per un inverso, esegui l’algoritmo esteso e tieni il coefficiente di a; aggiungi n se è negativo.
Risolvi a·x ≡ b moltiplicando per a⁻¹; combina due congruenze scrivendo x = r₁ + m₁k.
Per le potenze, scrivi l’esponente in binario ed eleva al quadrato ripetutamente; in RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Esercizi
1.Logica proposizionale e dimostrazioniMedia
Vuoi dimostrare ¬b → ¬a per contrapposizione. Quale implicazione dimostri al suo posto? Clicca su di essa.
¬b → ¬a
1¬¬b → ¬¬a
2¬¬a → ¬¬b
3¬b ∧ ¬¬a
4¬a → ¬b
2.Logica proposizionale e dimostrazioniDifficile
Quale enunciato è equivalente a ¬∃x ∀y R(x, y), con la negazione spostata fino in fondo all’interno? Clicca su di esso.
¬∃x ∀y R(x, y)
1∃x ∃y ¬R(x, y)
2∀x ∃y ¬R(x, y)
3∀x ∀y ¬R(x, y)
4∃x ∀y ¬R(x, y)
3.Insiemi, relazioni e funzioniMedia
In un gruppo di 63 studenti, 32 parlano francese (F), 38 parlano tedesco (G) e 34 parlano spagnolo (S). 16 parlano francese e tedesco, 18 francese e spagnolo, 18 tedesco e spagnolo, e 6 parlano tutte e tre le lingue. Quanti stanno in esattamente due dei tre insiemi? Chiama il numero n.
|U| = 63
n =
4.Insiemi, relazioni e funzioniDifficile
Il diagramma a frecce mostra una funzione f: A → B con A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c}. Clicca la descrizione che si adatta a f.
f = {(1, b), (2, a), (3, c)}
1iniettiva, non suriettiva
2suriettiva, non iniettiva
3biiettiva
4nessuna delle due
5.Teoria dei grafiMedia
Un grafo connesso ha 8 vertici e 19 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?
|V| = 8|E| = 19
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.
|V| = 7|E| = 9
W =
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulareMedia
Risolvi 50x ≡ 21 (mod 79). Dai la soluzione x con 0 < x < 79.
50x ≡ 21 (mod 79)
x =
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulareDifficile
Usa il quadrato ripetuto per trovare 1166 mod 26.
a = 11k = 66n = 26
1166 mod 26 =
3Soluzioni
1.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: ¬¬a → ¬¬b
Equivalenza logica: due formule sono equivalenti (≡) quando hanno lo stesso valore in ogni riga della tabella di verità. Una tautologia vale 1 in ogni riga, una contraddizione vale 0 in ogni riga, e una contingenza non è né l’una né l’altra. Leggi utili: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contronominale); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e le leggi distributive, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Parti dell’implicazione
a = ¬b, b = ¬a
Contronominale
¬b → ¬a = ¬¬a → ¬¬b
Risposta
¬¬a → ¬¬b
La contronominale è equivalente all’enunciato originale, quindi dimostrarla dimostra l’enunciato.
2.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: ∀x ∃y ¬R(x, y)
Quantificatori e argomenti: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Sposta una negazione verso l’interno, scambia ogni quantificatore che attraversa e nega la formula interna con le leggi proposizionali, come ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argomento è valido quando la conclusione vale 1 in ogni riga in cui tutte le premesse valgono 1. Una sola riga con premesse vere e conclusione falsa è un controesempio e mostra che l’argomento non è valido.
Sposta la negazione verso l’interno
¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)
Risposta
∀x ∃y ¬R(x, y)
Le altre opzioni lasciano invariato un quantificatore, cambiano l’ordine dei quantificatori oppure negano in modo errato la formula interna.
3.Insiemi, relazioni e funzioni
Risposta: n = 34
Insiemi e diagrammi di Venn: A ∪ B contiene gli elementi in A o in B (o in entrambi), A ∩ B gli elementi in entrambi, A − B gli elementi di A che non sono in B, e il complementare A′ tutto ciò che è in U e non in A. In un diagramma di Venn ogni espressione insiemistica è un’unione di regioni, quindi contala regione per regione. Inclusione-esclusione: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, e |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Centro e coppie
F ∩ G ∩ S: 6
F ∩ G solo: 16 − 6 = 10
F ∩ S solo: 18 − 6 = 12
G ∩ S solo: 18 − 6 = 12
Insiemi singoli
F solo: 32 − 10 − 12 − 6 = 4
G solo: 38 − 10 − 12 − 6 = 10
S solo: 34 − 12 − 12 − 6 = 4
Risposta
10 + 12 + 12 = 34
Risposta
n = 34
4.Insiemi, relazioni e funzioni
Risposta: biiettiva
Funzioni e conteggio: una funzione f: A → B assegna a ogni elemento di A esattamente un’immagine in B. f è iniettiva (uno a uno) quando elementi diversi hanno immagini diverse, suriettiva (su) quando ogni elemento di B è un’immagine, e biiettiva quando valgono entrambe. Con |A| = m e |B| = n ci sono nᵐ funzioni, n!/(n − m)! iniettive (m ≤ n), e per inclusione-esclusione Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ suriettive. |𝒫(A)| = 2ᵐ e |A × B| = m·n.
Iniettiva?
ogni elemento di B è colpito al più una volta → iniettiva
Suriettiva?
ogni elemento di B è colpito → suriettiva
Risposta
biiettiva
Risposta
biiettiva
5.Teoria dei grafi
Risposta: k = 12
Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.
Lati di un albero di copertura
8 − 1 = 7
Lati da togliere
k = 19 − 7 = 12
Risposta
k = 12
6.Teoria dei grafi
Risposta: W = 43
Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.
Algoritmo di Kruskal
DF (1): prendi
GB (2): prendi
GE (7): prendi
CE (9): prendi
DE (10): prendi
GD (12): salta, chiude un ciclo
AB (14): prendi
Peso totale
W = 1 + 2 + 7 + 9 + 10 + 14 = 43
Risposta
W = 43
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: x = 2
Inversi e congruenze: a ha un inverso modulo n esattamente quando MCD(a, n) = 1. L’algoritmo di Euclide esteso scrive 1 = s·n + t·a, e allora a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruenza a·x ≡ b (mod n) con MCD(a, n) = 1 ha la soluzione x ≡ a⁻¹·b. Due congruenze x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) con moduli coprimi hanno una soluzione modulo m₁·m₂ (teorema cinese del resto). La φ di Eulero φ(n) conta i numeri da 1 a n coprimi con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Inverso di 50
r = 79, t = 0
r = 50, q = 1, t = 1
r = 29, q = 1, t = −1
r = 21, q = 1, t = 2
r = 8, q = 2, t = −3
r = 5, q = 1, t = 8
r = 3, q = 1, t = −11
r = 2, q = 1, t = 19
r = 1, q = 2, t = −30
50−1 ≡ 49 (mod 79)
Risolvi
x ≡ 49·21 = 1029 ≡ 2 (mod 79)
verifica: 50·2 = 100 ≡ 21 (mod 79)
Risposta
x = 2
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: 1166 mod 26 = 25
Potenze modulari e RSA: calcola aᵏ mod n con il quadrato ripetuto: scrivi k in binario, eleva al quadrato, riduci a ogni passaggio e moltiplica le potenze il cui bit è 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) per un primo p che non divide a, quindi l’esponente si può ridurre modulo p − 1. RSA: scegli i primi p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); l’esponente pubblico e è coprimo con φ(n), e l’esponente privato è d = e⁻¹ mod φ(n). Cifra con c = mᵉ mod n e decifra con m = cᵈ mod n.