Disegna un diagramma di Venn e decidi regione per regione che cosa appartiene all’espressione insiemistica.
Nei problemi di conteggio, riempi le regioni dal centro verso l’esterno: prima tutti gli insiemi, poi le coppie, poi i singoli insiemi, infine l’esterno.
Usa il principio di inclusione-esclusione come verifica: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Per una relazione, verifica ogni proprietà su ogni coppia e fornisci un controesempio quando non vale.
Per una funzione, conta le frecce che arrivano a ciascun elemento di B: al più una significa iniettiva, almeno una suriettiva.
Teoria dei grafi
Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij
Metodo
Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).
Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Divisione con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclide
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Minimo comune multiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruenza lineare
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Funzione φ di Eulero
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metodo
Riduci prima ogni numero modulo n; i resti sono compresi tra 0 e n − 1.
Per un MCD, dividi ripetutamente con l’algoritmo di Euclide; l’ultimo resto diverso da zero è il MCD.
Per un inverso, esegui l’algoritmo esteso e tieni il coefficiente di a; aggiungi n se è negativo.
Risolvi a·x ≡ b moltiplicando per a⁻¹; combina due congruenze scrivendo x = r₁ + m₁k.
Per le potenze, scrivi l’esponente in binario ed eleva al quadrato ripetutamente; in RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Esercizi
1.Logica proposizionale e dimostrazioniMedia
Quale formula è logicamente equivalente a p → q? Clicca su di essa.
p → q
1¬q ∧ ¬p
2¬p → ¬q
3q → p
4¬q → ¬p
2.Logica proposizionale e dimostrazioniDifficile
Quante delle 16 righe della tabella di verità rendono vera ((q ∨ p) ∧ s) ∨ ¬((¬s → r) ∨ p)? Chiama questo numero N.
((q ∨ p) ∧ s) ∨ ¬((¬s → r) ∨ p)
N =
3.Insiemi, relazioni e funzioniMedia
Su 39 studenti del primo anno, 8 hanno superato Matematica (M), 30 hanno superato Fisica (P) e 2 le hanno superate entrambe. Quanti stanno in almeno uno dei due insiemi?
|U| = 39|M| = 8|P| = 30|M ∩ P| = 2
|M ∪ P| =
4.Insiemi, relazioni e funzioniDifficile
Quante funzioni f: A → B ci sono se |A| = 3 e |B| = 3? Chiama il numero N.
|A| = 3|B| = 3
N =
5.Teoria dei grafiMedia
Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.
|V| = 6|E| = 6
1Circuito euleriano
2Cammino euleriano, nessun circuito
3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 2; i lati saltati non contano.
k = 2
1lato AB
2lato AC
3lato BC
4lato BD
5lato CE
6lato DE
7lato BE
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulareMedia
Trova l’inverso di 10 modulo 37: il numero x con 0 < x < 37 e 10·x ≡ 1 (mod 37).
a = 10n = 37
10−1 mod 37 =
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulareDifficile
Una chiave RSA usa i primi p = 7 e q = 17 e l’esponente pubblico e = 7. Trova l’esponente privato d (0 < d < φ(n)).
p = 7q = 17e = 7
d =
3Soluzioni
1.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: ¬q → ¬p
Equivalenza logica: due formule sono equivalenti (≡) quando hanno lo stesso valore in ogni riga della tabella di verità. Una tautologia vale 1 in ogni riga, una contraddizione vale 0 in ogni riga, e una contingenza non è né l’una né l’altra. Leggi utili: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contronominale); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e le leggi distributive, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
La legge
Un’implicazione è equivalente alla sua contronominale ¬b → ¬a, non alla sua inversa b → a né alla sua contraria ¬a → ¬b.
p → q ≡ ¬q → ¬p
Verifica con la tabella di verità
p = 1, q = 1: 1 | 0 1 1 1
p = 1, q = 0: 0 | 0 1 1 0
p = 0, q = 1: 1 | 0 0 0 1
p = 0, q = 0: 1 | 1 1 1 1
Risposta
¬q → ¬p
Le colonne dopo la barra sono le opzioni nell’ordine mostrato.
2.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: N = 8
Tabelle di verità: una formula con n variabili distinte ha 2ⁿ righe, una per ogni combinazione di valori di verità (1 = vero, 0 = falso). Procedi dall’interno verso l’esterno e dai a ogni sottoformula una colonna propria. ¬a inverte il valore; a ∧ b vale 1 solo quando entrambi valgono 1; a ∨ b vale 0 solo quando entrambi valgono 0; a → b vale 0 solo quando a = 1 e b = 0; a ↔ b vale 1 quando i due lati sono uguali.
Insiemi e diagrammi di Venn: A ∪ B contiene gli elementi in A o in B (o in entrambi), A ∩ B gli elementi in entrambi, A − B gli elementi di A che non sono in B, e il complementare A′ tutto ciò che è in U e non in A. In un diagramma di Venn ogni espressione insiemistica è un’unione di regioni, quindi contala regione per regione. Inclusione-esclusione: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, e |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Regioni
M ∩ P: 2
M − P: 8 − 2 = 6
P − M: 30 − 2 = 28
(M ∪ P)′: 39 − (6 + 28 + 2) = 3
Risposta
|M ∪ P| = 36
Risposta
|M ∪ P| = 36
4.Insiemi, relazioni e funzioni
Risposta: N = 27
Funzioni e conteggio: una funzione f: A → B assegna a ogni elemento di A esattamente un’immagine in B. f è iniettiva (uno a uno) quando elementi diversi hanno immagini diverse, suriettiva (su) quando ogni elemento di B è un’immagine, e biiettiva quando valgono entrambe. Con |A| = m e |B| = n ci sono nᵐ funzioni, n!/(n − m)! iniettive (m ≤ n), e per inclusione-esclusione Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ suriettive. |𝒫(A)| = 2ᵐ e |A × B| = m·n.
Conta
N = 33 = 27
Risposta
N = 27
5.Teoria dei grafi
Risposta: nessuna delle due
Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.
Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.
Algoritmo di Kruskal
1. AC (6)
2. BC (7)
3. DE (8)
4. BD (12)
lato numero 2
BC
Risposta
lato BC
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: 10−1 mod 37 = 26
Inversi e congruenze: a ha un inverso modulo n esattamente quando MCD(a, n) = 1. L’algoritmo di Euclide esteso scrive 1 = s·n + t·a, e allora a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruenza a·x ≡ b (mod n) con MCD(a, n) = 1 ha la soluzione x ≡ a⁻¹·b. Due congruenze x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) con moduli coprimi hanno una soluzione modulo m₁·m₂ (teorema cinese del resto). La φ di Eulero φ(n) conta i numeri da 1 a n coprimi con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo di Euclide esteso
Ogni resto r si scrive r ≡ t·10 (mod 37).
r = 37, t = 0
r = 10, q = 3, t = 1
r = 7, q = 1, t = −3
r = 3, q = 2, t = 4
r = 1, q = 3, t = −11
Inversa
1 ≡ −11·10 (mod 37)
x = 26
verifica: 10·26 = 260 = 7·37 + 1
Risposta
10−1 mod 37 = 26
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: d = 55
Potenze modulari e RSA: calcola aᵏ mod n con il quadrato ripetuto: scrivi k in binario, eleva al quadrato, riduci a ogni passaggio e moltiplica le potenze il cui bit è 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) per un primo p che non divide a, quindi l’esponente si può ridurre modulo p − 1. RSA: scegli i primi p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); l’esponente pubblico e è coprimo con φ(n), e l’esponente privato è d = e⁻¹ mod φ(n). Cifra con c = mᵉ mod n e decifra con m = cᵈ mod n.