Disegna un diagramma di Venn e decidi regione per regione che cosa appartiene all’espressione insiemistica.
Nei problemi di conteggio, riempi le regioni dal centro verso l’esterno: prima tutti gli insiemi, poi le coppie, poi i singoli insiemi, infine l’esterno.
Usa il principio di inclusione-esclusione come verifica: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Per una relazione, verifica ogni proprietà su ogni coppia e fornisci un controesempio quando non vale.
Per una funzione, conta le frecce che arrivano a ciascun elemento di B: al più una significa iniettiva, almeno una suriettiva.
Teoria dei grafi
Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij
Metodo
Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).
Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Divisione con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclide
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Minimo comune multiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruenza lineare
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Funzione φ di Eulero
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metodo
Riduci prima ogni numero modulo n; i resti sono compresi tra 0 e n − 1.
Per un MCD, dividi ripetutamente con l’algoritmo di Euclide; l’ultimo resto diverso da zero è il MCD.
Per un inverso, esegui l’algoritmo esteso e tieni il coefficiente di a; aggiungi n se è negativo.
Risolvi a·x ≡ b moltiplicando per a⁻¹; combina due congruenze scrivendo x = r₁ + m₁k.
Per le potenze, scrivi l’esponente in binario ed eleva al quadrato ripetutamente; in RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Esercizi
1.Logica proposizionale e dimostrazioniMedia
p ↔ ¬p è una tautologia, una contraddizione o una contingenza? Clicca la tua risposta.
p ↔ ¬p
1tautologia
2contraddizione
3contingenza
2.Logica proposizionale e dimostrazioniDifficile
L’argomento con premesse r → (p ∨ q); r e conclusione p non è valido. Clicca la riga della tabella di verità che è un controesempio.
r → (p ∨ q)r∴ p
1p = 1, q = 1, r = 1
2p = 1, q = 1, r = 0
3p = 1, q = 0, r = 1
4p = 1, q = 0, r = 0
5p = 0, q = 1, r = 1
6p = 0, q = 1, r = 0
7p = 0, q = 0, r = 1
8p = 0, q = 0, r = 0
3.Insiemi, relazioni e funzioniMedia
R = {(1, 2), (2, 2), (4, 4)} è una relazione su {1, 2, 3, 4}. Qual è il numero minimo k di coppie ordinate da aggiungere a R per renderla simmetrica?
R = {(1, 2), (2, 2), (4, 4)}
k =
4.Insiemi, relazioni e funzioniDifficile
Una relazione di equivalenza R su {1, …, 8} ha le classi {7}, {1, 2, 4, 8}, {3, 5, 6}. Quante coppie ordinate contiene R? Chiama il numero |R|.
{7}{1, 2, 4, 8}{3, 5, 6}
|R| =
5.Teoria dei grafiMedia
Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K7? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.
K7
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
Quanti cammini di lunghezza 3 vanno da A a F? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.
M = matrice di adiacenzaL = 3
N =
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulareMedia
Trova il più piccolo intero positivo x con x ≡ 6 (mod 11) e x ≡ 7 (mod 12).
x ≡ 6 (mod 11)x ≡ 7 (mod 12)
x =
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulareDifficile
Cifra il messaggio m = 312 con la chiave pubblica RSA (n, e) = (437, 23). Trova il testo cifrato c.
n = 437e = 23m = 312
c =
3Soluzioni
1.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: contraddizione
Equivalenza logica: due formule sono equivalenti (≡) quando hanno lo stesso valore in ogni riga della tabella di verità. Una tautologia vale 1 in ogni riga, una contraddizione vale 0 in ogni riga, e una contingenza non è né l’una né l’altra. Leggi utili: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contronominale); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e le leggi distributive, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Tabella di verità riga per riga
p = 1: ¬p = 0, p ↔ ¬p = 0
p = 0: ¬p = 1, p ↔ ¬p = 0
Classifica
p ↔ ¬p: 0, 0
0 in ogni riga: una contraddizione.
Risposta
contraddizione
2.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: p = 0, q = 1, r = 1
Quantificatori e argomenti: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Sposta una negazione verso l’interno, scambia ogni quantificatore che attraversa e nega la formula interna con le leggi proposizionali, come ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argomento è valido quando la conclusione vale 1 in ogni riga in cui tutte le premesse valgono 1. Una sola riga con premesse vere e conclusione falsa è un controesempio e mostra che l’argomento non è valido.
Premesse e conclusione riga per riga
p = 1, q = 1, r = 1: 1 1 | 1
p = 1, q = 1, r = 0: 1 0 | 1
p = 1, q = 0, r = 1: 1 1 | 1
p = 1, q = 0, r = 0: 1 0 | 1
p = 0, q = 1, r = 1: 1 1 | 0
p = 0, q = 1, r = 0: 1 0 | 0
p = 0, q = 0, r = 1: 0 1 | 0
p = 0, q = 0, r = 0: 1 0 | 0
Controesempio
p = 0, q = 1, r = 1
Risposta
p = 0, q = 1, r = 1
Un argomento di questa forma sembra una regola valida, ma una sola riga basta a mostrare che non lo è.
3.Insiemi, relazioni e funzioni
Risposta: k = 1
Relazioni: una relazione R su un insieme X è un insieme di coppie ordinate (x, y). R è riflessiva quando (x, x) ∈ R per ogni x in X; simmetrica quando (x, y) ∈ R comporta sempre (y, x) ∈ R; antisimmetrica quando (x, y) e (y, x) sono entrambe in R solo se x = y; e transitiva quando (x, y) e (y, z) in R implicano (x, z) ∈ R. Una relazione di equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva, e divide X in classi disgiunte.
Coppie da aggiungere
{(2, 1)}
Conta
k = 1
Risposta
k = 1
4.Insiemi, relazioni e funzioni
Risposta: |R| = 26
Relazioni: una relazione R su un insieme X è un insieme di coppie ordinate (x, y). R è riflessiva quando (x, x) ∈ R per ogni x in X; simmetrica quando (x, y) ∈ R comporta sempre (y, x) ∈ R; antisimmetrica quando (x, y) e (y, x) sono entrambe in R solo se x = y; e transitiva quando (x, y) e (y, z) in R implicano (x, z) ∈ R. Una relazione di equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva, e divide X in classi disgiunte.
Coppie per classe
|R| = 1² + 4² + 3² = 26
Risposta
|R| = 26
5.Teoria dei grafi
Risposta: H = 360
Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.
Conta
H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360
Risposta
H = 360
6.Teoria dei grafi
Risposta: N = 1
Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.
Matrice di adiacenza
A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0
Un altro passo
(M³)AF = 2·0 + 1·0 + 1·0 + 1·1 + 1·0 + 0·0 = 1
Risposta
N = 1
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: x = 127
Inversi e congruenze: a ha un inverso modulo n esattamente quando MCD(a, n) = 1. L’algoritmo di Euclide esteso scrive 1 = s·n + t·a, e allora a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruenza a·x ≡ b (mod n) con MCD(a, n) = 1 ha la soluzione x ≡ a⁻¹·b. Due congruenze x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) con moduli coprimi hanno una soluzione modulo m₁·m₂ (teorema cinese del resto). La φ di Eulero φ(n) conta i numeri da 1 a n coprimi con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Prima congruenza
x = 6 + 11k
Seconda congruenza
6 + 11k ≡ 7 (mod 12) → 11k ≡ 1 (mod 12)
k ≡ 11·1 ≡ 11 (mod 12)
Risultato
x = 6 + 11·11 = 127
x = 127
verifica: 127 mod 11 = 6, 127 mod 12 = 7
Risposta
x = 127
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: c = 335
Potenze modulari e RSA: calcola aᵏ mod n con il quadrato ripetuto: scrivi k in binario, eleva al quadrato, riduci a ogni passaggio e moltiplica le potenze il cui bit è 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) per un primo p che non divide a, quindi l’esponente si può ridurre modulo p − 1. RSA: scegli i primi p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); l’esponente pubblico e è coprimo con φ(n), e l’esponente privato è d = e⁻¹ mod φ(n). Cifra con c = mᵉ mod n e decifra con m = cᵈ mod n.