Disegna un diagramma di Venn e decidi regione per regione che cosa appartiene all’espressione insiemistica.
Nei problemi di conteggio, riempi le regioni dal centro verso l’esterno: prima tutti gli insiemi, poi le coppie, poi i singoli insiemi, infine l’esterno.
Usa il principio di inclusione-esclusione come verifica: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Per una relazione, verifica ogni proprietà su ogni coppia e fornisci un controesempio quando non vale.
Per una funzione, conta le frecce che arrivano a ciascun elemento di B: al più una significa iniettiva, almeno una suriettiva.
Teoria dei grafi
Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij
Metodo
Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).
Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Divisione con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclide
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Minimo comune multiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruenza lineare
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Funzione φ di Eulero
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metodo
Riduci prima ogni numero modulo n; i resti sono compresi tra 0 e n − 1.
Per un MCD, dividi ripetutamente con l’algoritmo di Euclide; l’ultimo resto diverso da zero è il MCD.
Per un inverso, esegui l’algoritmo esteso e tieni il coefficiente di a; aggiungi n se è negativo.
Risolvi a·x ≡ b moltiplicando per a⁻¹; combina due congruenze scrivendo x = r₁ + m₁k.
Per le potenze, scrivi l’esponente in binario ed eleva al quadrato ripetutamente; in RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Esercizi
1.Logica proposizionale e dimostrazioniMedia
p ∧ ¬p è una tautologia, una contraddizione o una contingenza? Clicca la tua risposta.
p ∧ ¬p
1tautologia
2contraddizione
3contingenza
2.Logica proposizionale e dimostrazioniDifficile
Sono date le premesse (b ∧ a) → c; b; ¬c. Quale conclusione ne segue? Clicca su di essa.
(b ∧ a) → cb¬c
1c
2¬a
3a
4a ∧ ¬c
3.Insiemi, relazioni e funzioniMedia
In un gruppo di 62 studenti, 39 parlano francese (F), 28 parlano tedesco (G) e 34 parlano spagnolo (S). 19 parlano francese e tedesco, 14 francese e spagnolo, 12 tedesco e spagnolo, e 5 parlano tutte e tre le lingue. Quanti stanno in nessuno dei tre insiemi?
|U| = 62
|(F ∪ G ∪ S)′| =
4.Insiemi, relazioni e funzioniDifficile
Su X = {1, 2, …, 12} la relazione x ~ y vale quando x ≡ y (mod 5). Quanti elementi ci sono nella classe di equivalenza [1]?
X = {1, …, 12}x ~ y ⟺ 5 | (x − y)
|[1]| =
5.Teoria dei grafiMedia
Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.
|V| = 5|E| = 5
1Circuito euleriano
2Cammino euleriano, nessun circuito
3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.
partenza: Aarrivo: F
d(F) =
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulareMedia
Trova l’inverso di 16 modulo 37: il numero x con 0 < x < 37 e 16·x ≡ 1 (mod 37).
a = 16n = 37
16−1 mod 37 =
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulareDifficile
Una chiave RSA usa p = 19, q = 31 ed e = 17. Decifra il testo cifrato c = 80: trova il messaggio m.
p = 19q = 31e = 17c = 80
m =
3Soluzioni
1.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: contraddizione
Equivalenza logica: due formule sono equivalenti (≡) quando hanno lo stesso valore in ogni riga della tabella di verità. Una tautologia vale 1 in ogni riga, una contraddizione vale 0 in ogni riga, e una contingenza non è né l’una né l’altra. Leggi utili: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contronominale); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e le leggi distributive, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Tabella di verità riga per riga
p = 1: ¬p = 0, p ∧ ¬p = 0
p = 0: ¬p = 1, p ∧ ¬p = 0
Classifica
p ∧ ¬p: 0, 0
0 in ogni riga: una contraddizione.
Risposta
contraddizione
2.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: ¬a
Quantificatori e argomenti: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Sposta una negazione verso l’interno, scambia ogni quantificatore che attraversa e nega la formula interna con le leggi proposizionali, come ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argomento è valido quando la conclusione vale 1 in ogni riga in cui tutte le premesse valgono 1. Una sola riga con premesse vere e conclusione falsa è un controesempio e mostra che l’argomento non è valido.
Righe con tutte le premesse vere
a = 0, b = 1, c = 0: c = 0, ¬a = 1, a = 0, a ∧ ¬c = 0
Conclusione
¬a (modus tollens con una congiunzione)
Risposta
¬a
3.Insiemi, relazioni e funzioni
Risposta: |(F ∪ G ∪ S)′| = 1
Insiemi e diagrammi di Venn: A ∪ B contiene gli elementi in A o in B (o in entrambi), A ∩ B gli elementi in entrambi, A − B gli elementi di A che non sono in B, e il complementare A′ tutto ciò che è in U e non in A. In un diagramma di Venn ogni espressione insiemistica è un’unione di regioni, quindi contala regione per regione. Inclusione-esclusione: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, e |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Centro e coppie
F ∩ G ∩ S: 5
F ∩ G solo: 19 − 5 = 14
F ∩ S solo: 14 − 5 = 9
G ∩ S solo: 12 − 5 = 7
Insiemi singoli
F solo: 39 − 14 − 9 − 5 = 11
G solo: 28 − 14 − 7 − 5 = 2
S solo: 34 − 9 − 7 − 5 = 13
Risposta
|F ∪ G ∪ S| = 61
|(F ∪ G ∪ S)′| = 62 − 61 = 1
Risposta
|(F ∪ G ∪ S)′| = 1
4.Insiemi, relazioni e funzioni
Risposta: |[1]| = 3
Relazioni: una relazione R su un insieme X è un insieme di coppie ordinate (x, y). R è riflessiva quando (x, x) ∈ R per ogni x in X; simmetrica quando (x, y) ∈ R comporta sempre (y, x) ∈ R; antisimmetrica quando (x, y) e (y, x) sono entrambe in R solo se x = y; e transitiva quando (x, y) e (y, z) in R implicano (x, z) ∈ R. Una relazione di equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva, e divide X in classi disgiunte.
La classe
[1] = {1, 6, 11}
|[1]| = 3
Risposta
|[1]| = 3
5.Teoria dei grafi
Risposta: Circuito euleriano
Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.
Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.
Dijkstra passo per passo
Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.
A (0): B: 8, C: 3
C (3): E: 12
B (8): D: 23, E: 11
E (11): F: 15
F (15)
D (23)
Cammino minimo
A → B → E → F
d(F) = 15
Risposta
d(F) = 15
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: 16−1 mod 37 = 7
Inversi e congruenze: a ha un inverso modulo n esattamente quando MCD(a, n) = 1. L’algoritmo di Euclide esteso scrive 1 = s·n + t·a, e allora a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruenza a·x ≡ b (mod n) con MCD(a, n) = 1 ha la soluzione x ≡ a⁻¹·b. Due congruenze x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) con moduli coprimi hanno una soluzione modulo m₁·m₂ (teorema cinese del resto). La φ di Eulero φ(n) conta i numeri da 1 a n coprimi con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo di Euclide esteso
Ogni resto r si scrive r ≡ t·16 (mod 37).
r = 37, t = 0
r = 16, q = 2, t = 1
r = 5, q = 3, t = −2
r = 1, q = 5, t = 7
Inversa
1 ≡ 7·16 (mod 37)
x = 7
verifica: 16·7 = 112 = 3·37 + 1
Risposta
16−1 mod 37 = 7
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: m = 100
Potenze modulari e RSA: calcola aᵏ mod n con il quadrato ripetuto: scrivi k in binario, eleva al quadrato, riduci a ogni passaggio e moltiplica le potenze il cui bit è 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) per un primo p che non divide a, quindi l’esponente si può ridurre modulo p − 1. RSA: scegli i primi p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); l’esponente pubblico e è coprimo con φ(n), e l’esponente privato è d = e⁻¹ mod φ(n). Cifra con c = mᵉ mod n e decifra con m = cᵈ mod n.