Disegna un diagramma di Venn e decidi regione per regione che cosa appartiene all’espressione insiemistica.
Nei problemi di conteggio, riempi le regioni dal centro verso l’esterno: prima tutti gli insiemi, poi le coppie, poi i singoli insiemi, infine l’esterno.
Usa il principio di inclusione-esclusione come verifica: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Per una relazione, verifica ogni proprietà su ogni coppia e fornisci un controesempio quando non vale.
Per una funzione, conta le frecce che arrivano a ciascun elemento di B: al più una significa iniettiva, almeno una suriettiva.
Teoria dei grafi
Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij
Metodo
Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).
Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Divisione con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclide
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Minimo comune multiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruenza lineare
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Funzione φ di Eulero
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metodo
Riduci prima ogni numero modulo n; i resti sono compresi tra 0 e n − 1.
Per un MCD, dividi ripetutamente con l’algoritmo di Euclide; l’ultimo resto diverso da zero è il MCD.
Per un inverso, esegui l’algoritmo esteso e tieni il coefficiente di a; aggiungi n se è negativo.
Risolvi a·x ≡ b moltiplicando per a⁻¹; combina due congruenze scrivendo x = r₁ + m₁k.
Per le potenze, scrivi l’esponente in binario ed eleva al quadrato ripetutamente; in RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Esercizi
1.Logica proposizionale e dimostrazioniMedia
Quale formula è logicamente equivalente a r ↔ p? Clicca su di essa.
r ↔ p
1(r → p) ∨ (p → r)
2r ∧ p
3(r → p) ∧ (¬p → ¬r)
4(r → p) ∧ (p → r)
2.Logica proposizionale e dimostrazioniDifficile
Sono date le premesse c ∨ b; c → a; b → a. Quale conclusione ne segue? Clicca su di essa.
c ∨ bc → ab → a
1¬a
2a
3c
4c ∧ b
3.Insiemi, relazioni e funzioniMedia
La relazione R su {1, 2, 3, 4} è disegnata come grafo orientato (un cappio significa (x, x) ∈ R). Vale esattamente una delle quattro proprietà. Cliccala.
Il diagramma a frecce mostra una funzione f: A → B con A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c, d, e}. Clicca la descrizione che si adatta a f.
f = {(1, b), (2, e), (3, d), (4, a)}
1iniettiva, non suriettiva
2suriettiva, non iniettiva
3biiettiva
4nessuna delle due
5.Teoria dei grafiMedia
Un albero ha 3 vertici di grado 5, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?
3 × deg 5
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 6; i lati saltati non contano.
k = 6
1lato AB
2lato AC
3lato BC
4lato BD
5lato CE
6lato DE
7lato DF
8lato EF
9lato GC
10lato GD
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulareMedia
Trova l’inverso di 5 modulo 69: il numero x con 0 < x < 69 e 5·x ≡ 1 (mod 69).
a = 5n = 69
5−1 mod 69 =
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulareDifficile
Usa il quadrato ripetuto per trovare 34193 mod 53.
a = 34k = 193n = 53
34193 mod 53 =
3Soluzioni
1.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: (r → p) ∧ (p → r)
Equivalenza logica: due formule sono equivalenti (≡) quando hanno lo stesso valore in ogni riga della tabella di verità. Una tautologia vale 1 in ogni riga, una contraddizione vale 0 in ogni riga, e una contingenza non è né l’una né l’altra. Leggi utili: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contronominale); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e le leggi distributive, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
La legge
a ↔ b significa che l’implicazione vale in entrambe le direzioni: (a → b) ∧ (b → a).
r ↔ p ≡ (r → p) ∧ (p → r)
Verifica con la tabella di verità
p = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, r = 0: 0 | 1 0 1 0
p = 0, r = 1: 0 | 1 0 0 0
p = 0, r = 0: 1 | 1 0 1 1
Risposta
(r → p) ∧ (p → r)
Le colonne dopo la barra sono le opzioni nell’ordine mostrato.
2.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: a
Quantificatori e argomenti: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Sposta una negazione verso l’interno, scambia ogni quantificatore che attraversa e nega la formula interna con le leggi proposizionali, come ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argomento è valido quando la conclusione vale 1 in ogni riga in cui tutte le premesse valgono 1. Una sola riga con premesse vere e conclusione falsa è un controesempio e mostra che l’argomento non è valido.
Righe con tutte le premesse vere
a = 1, b = 1, c = 1: ¬a = 0, a = 1, c = 1, c ∧ b = 1
a = 1, b = 1, c = 0: ¬a = 0, a = 1, c = 0, c ∧ b = 0
a = 1, b = 0, c = 1: ¬a = 0, a = 1, c = 1, c ∧ b = 0
Conclusione
a (dimostrazione per casi)
Risposta
a
3.Insiemi, relazioni e funzioni
Risposta: simmetrica
Relazioni: una relazione R su un insieme X è un insieme di coppie ordinate (x, y). R è riflessiva quando (x, x) ∈ R per ogni x in X; simmetrica quando (x, y) ∈ R comporta sempre (y, x) ∈ R; antisimmetrica quando (x, y) e (y, x) sono entrambe in R solo se x = y; e transitiva quando (x, y) e (y, z) in R implicano (x, z) ∈ R. Una relazione di equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva, e divide X in classi disgiunte.
riflessiva
non vale: (2, 2) ∉ R
simmetrica
vale
antisimmetrica
non vale: (1, 2), (2, 1) ∈ R
transitiva
non vale: (1, 3), (3, 4) ∈ R, (1, 4) ∉ R
Risposta
simmetrica
4.Insiemi, relazioni e funzioni
Risposta: iniettiva, non suriettiva
Funzioni e conteggio: una funzione f: A → B assegna a ogni elemento di A esattamente un’immagine in B. f è iniettiva (uno a uno) quando elementi diversi hanno immagini diverse, suriettiva (su) quando ogni elemento di B è un’immagine, e biiettiva quando valgono entrambe. Con |A| = m e |B| = n ci sono nᵐ funzioni, n!/(n − m)! iniettive (m ≤ n), e per inclusione-esclusione Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ suriettive. |𝒫(A)| = 2ᵐ e |A × B| = m·n.
Iniettiva?
ogni elemento di B è colpito al più una volta → iniettiva
Suriettiva?
c non riceve alcuna freccia → non suriettiva
Risposta
iniettiva, non suriettiva
Risposta
iniettiva, non suriettiva
5.Teoria dei grafi
Risposta: L = 11
Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.
Lemma delle strette di mano per un albero
L + 15 = 2(L + 3) − 2
L = 11
Risposta
L = 11
Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.
6.Teoria dei grafi
Risposta: lato GC
Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.
Algoritmo di Kruskal
1. EF (1)
2. BD (2)
3. GD (5)
4. DE (8)
5. AC (9)
6. GC (12)
lato numero 6
GC
Risposta
lato GC
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: 5−1 mod 69 = 14
Inversi e congruenze: a ha un inverso modulo n esattamente quando MCD(a, n) = 1. L’algoritmo di Euclide esteso scrive 1 = s·n + t·a, e allora a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruenza a·x ≡ b (mod n) con MCD(a, n) = 1 ha la soluzione x ≡ a⁻¹·b. Due congruenze x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) con moduli coprimi hanno una soluzione modulo m₁·m₂ (teorema cinese del resto). La φ di Eulero φ(n) conta i numeri da 1 a n coprimi con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo di Euclide esteso
Ogni resto r si scrive r ≡ t·5 (mod 69).
r = 69, t = 0
r = 5, q = 13, t = 1
r = 4, q = 1, t = −13
r = 1, q = 4, t = 14
Inversa
1 ≡ 14·5 (mod 69)
x = 14
verifica: 5·14 = 70 = 1·69 + 1
Risposta
5−1 mod 69 = 14
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: 34193 mod 53 = 50
Potenze modulari e RSA: calcola aᵏ mod n con il quadrato ripetuto: scrivi k in binario, eleva al quadrato, riduci a ogni passaggio e moltiplica le potenze il cui bit è 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) per un primo p che non divide a, quindi l’esponente si può ridurre modulo p − 1. RSA: scegli i primi p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); l’esponente pubblico e è coprimo con φ(n), e l’esponente privato è d = e⁻¹ mod φ(n). Cifra con c = mᵉ mod n e decifra con m = cᵈ mod n.