Disegna un diagramma di Venn e decidi regione per regione che cosa appartiene all’espressione insiemistica.
Nei problemi di conteggio, riempi le regioni dal centro verso l’esterno: prima tutti gli insiemi, poi le coppie, poi i singoli insiemi, infine l’esterno.
Usa il principio di inclusione-esclusione come verifica: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Per una relazione, verifica ogni proprietà su ogni coppia e fornisci un controesempio quando non vale.
Per una funzione, conta le frecce che arrivano a ciascun elemento di B: al più una significa iniettiva, almeno una suriettiva.
Teoria dei grafi
Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij
Metodo
Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).
Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Divisione con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclide
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Minimo comune multiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruenza lineare
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Funzione φ di Eulero
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metodo
Riduci prima ogni numero modulo n; i resti sono compresi tra 0 e n − 1.
Per un MCD, dividi ripetutamente con l’algoritmo di Euclide; l’ultimo resto diverso da zero è il MCD.
Per un inverso, esegui l’algoritmo esteso e tieni il coefficiente di a; aggiungi n se è negativo.
Risolvi a·x ≡ b moltiplicando per a⁻¹; combina due congruenze scrivendo x = r₁ + m₁k.
Per le potenze, scrivi l’esponente in binario ed eleva al quadrato ripetutamente; in RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Esercizi
1.Logica proposizionale e dimostrazioniMedia
Quale formula è logicamente equivalente a a → b? Clicca su di essa.
a → b
1¬a → ¬b
2¬a ∨ b
3a ∨ ¬b
4¬a ∧ b
2.Logica proposizionale e dimostrazioniDifficile
Quale enunciato è equivalente a ¬∀x (P(x) → Q(x)), con la negazione spostata fino in fondo all’interno? Clicca su di esso.
¬∀x (P(x) → Q(x))
1∃x (P(x) → ¬Q(x))
2∀x (P(x) → ¬Q(x))
3∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))
4∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))
3.Insiemi, relazioni e funzioniMedia
Esattamente una regione del diagramma di Venn è l’insieme (B ∩ C) ∩ (A − C′). Clicca il suo numero.
(B ∩ C) ∩ (A − C′)
1regione 1
2regione 2
3regione 3
4regione 4
5regione 5
6regione 6
7regione 7
8regione 8
4.Insiemi, relazioni e funzioniDifficile
Le funzioni f e g su {1, 2, 3, 4, 5} sono date dalle loro tabelle. Trova (g ∘ f)(3).
Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.
|V| = 7|E| = 12
1Circuito euleriano
2Cammino euleriano, nessun circuito
3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.
partenza: Aarrivo: F
d(F) =
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulareMedia
Risolvi 52x ≡ 13 (mod 67). Dai la soluzione x con 0 < x < 67.
52x ≡ 13 (mod 67)
x =
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulareDifficile
Usa il quadrato ripetuto per trovare 32130 mod 57.
a = 32k = 130n = 57
32130 mod 57 =
3Soluzioni
1.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: ¬a ∨ b
Equivalenza logica: due formule sono equivalenti (≡) quando hanno lo stesso valore in ogni riga della tabella di verità. Una tautologia vale 1 in ogni riga, una contraddizione vale 0 in ogni riga, e una contingenza non è né l’una né l’altra. Leggi utili: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contronominale); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e le leggi distributive, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
La legge
a → b vale 0 solo quando a = 1 e b = 0, quindi equivale a ¬a ∨ b.
a → b ≡ ¬a ∨ b
Verifica con la tabella di verità
a = 1, b = 1: 1 | 1 1 1 0
a = 1, b = 0: 0 | 1 0 1 0
a = 0, b = 1: 1 | 0 1 0 1
a = 0, b = 0: 1 | 1 1 1 0
Risposta
¬a ∨ b
Le colonne dopo la barra sono le opzioni nell’ordine mostrato.
2.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: ∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))
Quantificatori e argomenti: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Sposta una negazione verso l’interno, scambia ogni quantificatore che attraversa e nega la formula interna con le leggi proposizionali, come ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argomento è valido quando la conclusione vale 1 in ogni riga in cui tutte le premesse valgono 1. Una sola riga con premesse vere e conclusione falsa è un controesempio e mostra che l’argomento non è valido.
Sposta la negazione verso l’interno
¬∀x (P(x) → Q(x)) ≡ ∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))
Risposta
∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))
Le altre opzioni lasciano invariato un quantificatore, cambiano l’ordine dei quantificatori oppure negano in modo errato la formula interna.
3.Insiemi, relazioni e funzioni
Risposta: regione 1
Insiemi e diagrammi di Venn: A ∪ B contiene gli elementi in A o in B (o in entrambi), A ∩ B gli elementi in entrambi, A − B gli elementi di A che non sono in B, e il complementare A′ tutto ciò che è in U e non in A. In un diagramma di Venn ogni espressione insiemistica è un’unione di regioni, quindi contala regione per regione. Inclusione-esclusione: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, e |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Dentro o fuori da ciascun insieme
A ∩ B ∩ C
La regione
regione 1
Risposta
regione 1
4.Insiemi, relazioni e funzioni
Risposta: (g ∘ f)(3) = 4
Funzioni e conteggio: una funzione f: A → B assegna a ogni elemento di A esattamente un’immagine in B. f è iniettiva (uno a uno) quando elementi diversi hanno immagini diverse, suriettiva (su) quando ogni elemento di B è un’immagine, e biiettiva quando valgono entrambe. Con |A| = m e |B| = n ci sono nᵐ funzioni, n!/(n − m)! iniettive (m ≤ n), e per inclusione-esclusione Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ suriettive. |𝒫(A)| = 2ᵐ e |A × B| = m·n.
Funzione interna
f(3) = 1
Funzione esterna
g(1) = 4
(g ∘ f)(3) = 4
Risposta
(g ∘ f)(3) = 4
5.Teoria dei grafi
Risposta: Circuito euleriano
Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.
Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.
Dijkstra passo per passo
Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.
A (0): B: 3, C: 4
B (3): D: 9, E: 10
C (4)
D (9): F: 15
E (10)
F (15)
Cammino minimo
A → B → D → F
d(F) = 15
Risposta
d(F) = 15
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: x = 17
Inversi e congruenze: a ha un inverso modulo n esattamente quando MCD(a, n) = 1. L’algoritmo di Euclide esteso scrive 1 = s·n + t·a, e allora a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruenza a·x ≡ b (mod n) con MCD(a, n) = 1 ha la soluzione x ≡ a⁻¹·b. Due congruenze x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) con moduli coprimi hanno una soluzione modulo m₁·m₂ (teorema cinese del resto). La φ di Eulero φ(n) conta i numeri da 1 a n coprimi con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Inverso di 52
r = 67, t = 0
r = 52, q = 1, t = 1
r = 15, q = 3, t = −1
r = 7, q = 2, t = 4
r = 1, q = 7, t = −9
52−1 ≡ 58 (mod 67)
Risolvi
x ≡ 58·13 = 754 ≡ 17 (mod 67)
verifica: 52·17 = 884 ≡ 13 (mod 67)
Risposta
x = 17
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: 32130 mod 57 = 4
Potenze modulari e RSA: calcola aᵏ mod n con il quadrato ripetuto: scrivi k in binario, eleva al quadrato, riduci a ogni passaggio e moltiplica le potenze il cui bit è 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) per un primo p che non divide a, quindi l’esponente si può ridurre modulo p − 1. RSA: scegli i primi p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); l’esponente pubblico e è coprimo con φ(n), e l’esponente privato è d = e⁻¹ mod φ(n). Cifra con c = mᵉ mod n e decifra con m = cᵈ mod n.