Disegna un diagramma di Venn e decidi regione per regione che cosa appartiene all’espressione insiemistica.
Nei problemi di conteggio, riempi le regioni dal centro verso l’esterno: prima tutti gli insiemi, poi le coppie, poi i singoli insiemi, infine l’esterno.
Usa il principio di inclusione-esclusione come verifica: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Per una relazione, verifica ogni proprietà su ogni coppia e fornisci un controesempio quando non vale.
Per una funzione, conta le frecce che arrivano a ciascun elemento di B: al più una significa iniettiva, almeno una suriettiva.
Teoria dei grafi
Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij
Metodo
Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).
Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Divisione con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclide
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Minimo comune multiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruenza lineare
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Funzione φ di Eulero
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metodo
Riduci prima ogni numero modulo n; i resti sono compresi tra 0 e n − 1.
Per un MCD, dividi ripetutamente con l’algoritmo di Euclide; l’ultimo resto diverso da zero è il MCD.
Per un inverso, esegui l’algoritmo esteso e tieni il coefficiente di a; aggiungi n se è negativo.
Risolvi a·x ≡ b moltiplicando per a⁻¹; combina due congruenze scrivendo x = r₁ + m₁k.
Per le potenze, scrivi l’esponente in binario ed eleva al quadrato ripetutamente; in RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Esercizi
1.Logica proposizionale e dimostrazioniMedia
b ↔ ¬b è una tautologia, una contraddizione o una contingenza? Clicca la tua risposta.
b ↔ ¬b
1tautologia
2contraddizione
3contingenza
2.Logica proposizionale e dimostrazioniDifficile
Quante delle 16 righe della tabella di verità rendono vera ((¬s → ¬p) ∨ (q → r)) ∨ (s ∧ (¬r ∨ p))? Chiama questo numero N.
((¬s → ¬p) ∨ (q → r)) ∨ (s ∧ (¬r ∨ p))
N =
3.Insiemi, relazioni e funzioniMedia
La relazione R su {1, 2, 3, 4} è disegnata come grafo orientato (un cappio significa (x, x) ∈ R). Vale esattamente una delle quattro proprietà. Cliccala.
Su X = {1, 2, …, 13} la relazione x ~ y vale quando x ≡ y (mod 5). Quanti elementi ci sono nella classe di equivalenza [12]?
X = {1, …, 13}x ~ y ⟺ 5 | (x − y)
|[12]| =
5.Teoria dei grafiMedia
Un grafo connesso ha 11 vertici e 15 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?
|V| = 11|E| = 15
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 4; i lati saltati non contano.
k = 4
1lato AB
2lato AC
3lato BC
4lato BD
5lato CE
6lato DE
7lato DF
8lato GB
9lato GC
10lato GE
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulareMedia
Trova l’inverso di 83 modulo 89: il numero x con 0 < x < 89 e 83·x ≡ 1 (mod 89).
a = 83n = 89
83−1 mod 89 =
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulareDifficile
Usa il quadrato ripetuto per trovare 17105 mod 20.
a = 17k = 105n = 20
17105 mod 20 =
3Soluzioni
1.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: contraddizione
Equivalenza logica: due formule sono equivalenti (≡) quando hanno lo stesso valore in ogni riga della tabella di verità. Una tautologia vale 1 in ogni riga, una contraddizione vale 0 in ogni riga, e una contingenza non è né l’una né l’altra. Leggi utili: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contronominale); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e le leggi distributive, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Tabella di verità riga per riga
b = 1: ¬b = 0, b ↔ ¬b = 0
b = 0: ¬b = 1, b ↔ ¬b = 0
Classifica
b ↔ ¬b: 0, 0
0 in ogni riga: una contraddizione.
Risposta
contraddizione
2.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: N = 15
Tabelle di verità: una formula con n variabili distinte ha 2ⁿ righe, una per ogni combinazione di valori di verità (1 = vero, 0 = falso). Procedi dall’interno verso l’esterno e dai a ogni sottoformula una colonna propria. ¬a inverte il valore; a ∧ b vale 1 solo quando entrambi valgono 1; a ∨ b vale 0 solo quando entrambi valgono 0; a → b vale 0 solo quando a = 1 e b = 0; a ↔ b vale 1 quando i due lati sono uguali.
Relazioni: una relazione R su un insieme X è un insieme di coppie ordinate (x, y). R è riflessiva quando (x, x) ∈ R per ogni x in X; simmetrica quando (x, y) ∈ R comporta sempre (y, x) ∈ R; antisimmetrica quando (x, y) e (y, x) sono entrambe in R solo se x = y; e transitiva quando (x, y) e (y, z) in R implicano (x, z) ∈ R. Una relazione di equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva, e divide X in classi disgiunte.
riflessiva
non vale: (1, 1) ∉ R
simmetrica
vale
antisimmetrica
non vale: (1, 3), (3, 1) ∈ R
transitiva
non vale: (1, 3), (3, 1) ∈ R, (1, 1) ∉ R
Risposta
simmetrica
4.Insiemi, relazioni e funzioni
Risposta: |[12]| = 3
Relazioni: una relazione R su un insieme X è un insieme di coppie ordinate (x, y). R è riflessiva quando (x, x) ∈ R per ogni x in X; simmetrica quando (x, y) ∈ R comporta sempre (y, x) ∈ R; antisimmetrica quando (x, y) e (y, x) sono entrambe in R solo se x = y; e transitiva quando (x, y) e (y, z) in R implicano (x, z) ∈ R. Una relazione di equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva, e divide X in classi disgiunte.
La classe
[12] = {2, 7, 12}
|[12]| = 3
Risposta
|[12]| = 3
5.Teoria dei grafi
Risposta: k = 5
Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.
Lati di un albero di copertura
11 − 1 = 10
Lati da togliere
k = 15 − 10 = 5
Risposta
k = 5
6.Teoria dei grafi
Risposta: lato GB
Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.
Algoritmo di Kruskal
1. BD (2)
2. AB (4)
3. CE (5)
4. GB (8)
5. GC (9)
6. DF (19)
lato numero 4
GB
Risposta
lato GB
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: 83−1 mod 89 = 74
Inversi e congruenze: a ha un inverso modulo n esattamente quando MCD(a, n) = 1. L’algoritmo di Euclide esteso scrive 1 = s·n + t·a, e allora a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruenza a·x ≡ b (mod n) con MCD(a, n) = 1 ha la soluzione x ≡ a⁻¹·b. Due congruenze x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) con moduli coprimi hanno una soluzione modulo m₁·m₂ (teorema cinese del resto). La φ di Eulero φ(n) conta i numeri da 1 a n coprimi con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo di Euclide esteso
Ogni resto r si scrive r ≡ t·83 (mod 89).
r = 89, t = 0
r = 83, q = 1, t = 1
r = 6, q = 13, t = −1
r = 5, q = 1, t = 14
r = 1, q = 5, t = −15
Inversa
1 ≡ −15·83 (mod 89)
x = 74
verifica: 83·74 = 6142 = 69·89 + 1
Risposta
83−1 mod 89 = 74
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: 17105 mod 20 = 17
Potenze modulari e RSA: calcola aᵏ mod n con il quadrato ripetuto: scrivi k in binario, eleva al quadrato, riduci a ogni passaggio e moltiplica le potenze il cui bit è 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) per un primo p che non divide a, quindi l’esponente si può ridurre modulo p − 1. RSA: scegli i primi p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); l’esponente pubblico e è coprimo con φ(n), e l’esponente privato è d = e⁻¹ mod φ(n). Cifra con c = mᵉ mod n e decifra con m = cᵈ mod n.