Disegna un diagramma di Venn e decidi regione per regione che cosa appartiene all’espressione insiemistica.
Nei problemi di conteggio, riempi le regioni dal centro verso l’esterno: prima tutti gli insiemi, poi le coppie, poi i singoli insiemi, infine l’esterno.
Usa il principio di inclusione-esclusione come verifica: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Per una relazione, verifica ogni proprietà su ogni coppia e fornisci un controesempio quando non vale.
Per una funzione, conta le frecce che arrivano a ciascun elemento di B: al più una significa iniettiva, almeno una suriettiva.
Teoria dei grafi
Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij
Metodo
Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).
Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Divisione con resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclide
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Minimo comune multiplo
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruenza lineare
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Funzione φ di Eulero
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metodo
Riduci prima ogni numero modulo n; i resti sono compresi tra 0 e n − 1.
Per un MCD, dividi ripetutamente con l’algoritmo di Euclide; l’ultimo resto diverso da zero è il MCD.
Per un inverso, esegui l’algoritmo esteso e tieni il coefficiente di a; aggiungi n se è negativo.
Risolvi a·x ≡ b moltiplicando per a⁻¹; combina due congruenze scrivendo x = r₁ + m₁k.
Per le potenze, scrivi l’esponente in binario ed eleva al quadrato ripetutamente; in RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Esercizi
1.Logica proposizionale e dimostrazioniMedia
Quale formula è logicamente equivalente a ¬(r ∨ q)? Clicca su di essa.
¬(r ∨ q)
1¬r ∧ ¬q
2¬r ∧ q
3r ∨ ¬q
4¬r ∨ ¬q
2.Logica proposizionale e dimostrazioniDifficile
Quale enunciato è equivalente a ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)), con la negazione spostata fino in fondo all’interno? Clicca su di esso.
¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))
1∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
2∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
4∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3.Insiemi, relazioni e funzioniMedia
Un sondaggio su 50 persone rileva che 18 possiedono un portatile (L), 18 un tablet (T) e 27 uno smartwatch (W). 4 possiedono L e T, 9 possiedono L e W, 7 possiedono T e W, e 3 possiedono tutti e tre. Quanti stanno in esattamente uno dei tre insiemi? Chiama il numero n.
|U| = 50
n =
4.Insiemi, relazioni e funzioniDifficile
Il diagramma a frecce mostra una funzione f: A → B con A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c, d, e}. Clicca la descrizione che si adatta a f.
f = {(1, e), (2, c), (3, d), (4, b)}
1iniettiva, non suriettiva
2suriettiva, non iniettiva
3biiettiva
4nessuna delle due
5.Teoria dei grafiMedia
Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.
|V| = 5|E| = 6
1Circuito euleriano
2Cammino euleriano, nessun circuito
3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
Quanti cammini di lunghezza 3 vanno da D a B? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.
M = matrice di adiacenzaL = 3
N =
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulareMedia
Trova il più piccolo intero positivo x con x ≡ 3 (mod 6) e x ≡ 5 (mod 13).
x ≡ 3 (mod 6)x ≡ 5 (mod 13)
x =
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulareDifficile
Risolvi 8x ≡ 12 (mod 42). Dai la più piccola soluzione positiva x.
8x ≡ 12 (mod 42)
x =
3Soluzioni
1.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: ¬r ∧ ¬q
Equivalenza logica: due formule sono equivalenti (≡) quando hanno lo stesso valore in ogni riga della tabella di verità. Una tautologia vale 1 in ogni riga, una contraddizione vale 0 in ogni riga, e una contingenza non è né l’una né l’altra. Leggi utili: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contronominale); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e le leggi distributive, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
La legge
De Morgan: ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b. L’∨ diventa ∧ e le due parti vengono negate.
¬(r ∨ q) ≡ ¬r ∧ ¬q
Verifica con la tabella di verità
q = 1, r = 1: 0 | 0 0 1 0
q = 1, r = 0: 0 | 0 1 0 1
q = 0, r = 1: 0 | 0 0 1 1
q = 0, r = 0: 1 | 1 0 1 1
Risposta
¬r ∧ ¬q
Le colonne dopo la barra sono le opzioni nell’ordine mostrato.
2.Logica proposizionale e dimostrazioni
Risposta: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
Quantificatori e argomenti: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Sposta una negazione verso l’interno, scambia ogni quantificatore che attraversa e nega la formula interna con le leggi proposizionali, come ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un argomento è valido quando la conclusione vale 1 in ogni riga in cui tutte le premesse valgono 1. Una sola riga con premesse vere e conclusione falsa è un controesempio e mostra che l’argomento non è valido.
Le altre opzioni lasciano invariato un quantificatore, cambiano l’ordine dei quantificatori oppure negano in modo errato la formula interna.
3.Insiemi, relazioni e funzioni
Risposta: n = 32
Insiemi e diagrammi di Venn: A ∪ B contiene gli elementi in A o in B (o in entrambi), A ∩ B gli elementi in entrambi, A − B gli elementi di A che non sono in B, e il complementare A′ tutto ciò che è in U e non in A. In un diagramma di Venn ogni espressione insiemistica è un’unione di regioni, quindi contala regione per regione. Inclusione-esclusione: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, e |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Centro e coppie
L ∩ T ∩ W: 3
L ∩ T solo: 4 − 3 = 1
L ∩ W solo: 9 − 3 = 6
T ∩ W solo: 7 − 3 = 4
Insiemi singoli
L solo: 18 − 1 − 6 − 3 = 8
T solo: 18 − 1 − 4 − 3 = 10
W solo: 27 − 6 − 4 − 3 = 14
Risposta
8 + 10 + 14 = 32
Risposta
n = 32
4.Insiemi, relazioni e funzioni
Risposta: iniettiva, non suriettiva
Funzioni e conteggio: una funzione f: A → B assegna a ogni elemento di A esattamente un’immagine in B. f è iniettiva (uno a uno) quando elementi diversi hanno immagini diverse, suriettiva (su) quando ogni elemento di B è un’immagine, e biiettiva quando valgono entrambe. Con |A| = m e |B| = n ci sono nᵐ funzioni, n!/(n − m)! iniettive (m ≤ n), e per inclusione-esclusione Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ suriettive. |𝒫(A)| = 2ᵐ e |A × B| = m·n.
Iniettiva?
ogni elemento di B è colpito al più una volta → iniettiva
Suriettiva?
a non riceve alcuna freccia → non suriettiva
Risposta
iniettiva, non suriettiva
Risposta
iniettiva, non suriettiva
5.Teoria dei grafi
Risposta: nessuna delle due
Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.
Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.
Matrice di adiacenza
A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0
Un altro passo
(M³)DB = 1·1 + 1·0 + 1·1 + 3·1 + 2·1 + 1·0 = 7
Risposta
N = 7
7.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: x = 57
Inversi e congruenze: a ha un inverso modulo n esattamente quando MCD(a, n) = 1. L’algoritmo di Euclide esteso scrive 1 = s·n + t·a, e allora a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruenza a·x ≡ b (mod n) con MCD(a, n) = 1 ha la soluzione x ≡ a⁻¹·b. Due congruenze x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) con moduli coprimi hanno una soluzione modulo m₁·m₂ (teorema cinese del resto). La φ di Eulero φ(n) conta i numeri da 1 a n coprimi con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Prima congruenza
x = 3 + 6k
Seconda congruenza
3 + 6k ≡ 5 (mod 13) → 6k ≡ 2 (mod 13)
k ≡ 11·2 ≡ 9 (mod 13)
Risultato
x = 3 + 6·9 = 57
x = 57
verifica: 57 mod 6 = 3, 57 mod 13 = 5
Risposta
x = 57
8.Teoria dei numeri e aritmetica modulare
Risposta: x = 12
Inversi e congruenze: a ha un inverso modulo n esattamente quando MCD(a, n) = 1. L’algoritmo di Euclide esteso scrive 1 = s·n + t·a, e allora a⁻¹ ≡ t (mod n). Una congruenza a·x ≡ b (mod n) con MCD(a, n) = 1 ha la soluzione x ≡ a⁻¹·b. Due congruenze x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) con moduli coprimi hanno una soluzione modulo m₁·m₂ (teorema cinese del resto). La φ di Eulero φ(n) conta i numeri da 1 a n coprimi con n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).