Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Un’auto che viaggia a una velocità costante di 32 m/s supera un’auto della polizia ferma. In quell’istante l’auto della polizia parte e accelera uniformemente a 3 m/s². Quanto tempo impiega l’auto della polizia a raggiungerla? Trova t.
La palla A viene lasciata cadere da ferma da un’altezza di 55 m. Nello stesso istante la palla B viene lanciata verticalmente verso l’alto dal suolo, esattamente sotto, a 25 m/s. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Quando si incontrano le palle? Trova t.
Una slitta di 40 kg viene trascinata sulla neve in piano da una fune inclinata di 25° sopra l’orizzontale con una forza di 180 N. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,4. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione a della slitta.
A un blocco viene data una spinta in modo che inizi a risalire una rampa inclinata di 15° con una velocità di 8,5 m/s. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,3. Usa g = 9,81 m/s². Quanta strada d percorre lungo la rampa prima di fermarsi?
Una palla viene lanciata a 20° sopra l’orizzontale da terreno pianeggiante. Trascura la resistenza dell’aria. Trova l’altezza massima H raggiunta dalla palla.
Una palla viene lanciata a 25° sopra l’orizzontale dalla cima di una scogliera alta 45 m. Trascura la resistenza dell’aria. Trova la distanza orizzontale x percorsa prima che la palla tocchi terra.
Un ingegnere stradale vuole che le auto percorrano una curva di raggio 340 m a 90 km/h senza fare affidamento sull’attrito. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’angolo di sopraelevazione θ.
Un carrello di 2 kg viene lasciato da fermo a un’altezza di 29,75 m su una pista priva di attrito e percorre un giro della morte verticale di raggio 8,5 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la forza normale Nbottom della pista sul carrello nel punto più basso del giro.
Un’auto di 800 kg sale lungo una pendenza di 5° a velocità costante di 36 km/h. La resistenza dell’aria e la resistenza al rotolamento insieme valgono 750 N. Trova la potenza P che le ruote devono fornire, in kW.
Un carrello di 0,5 kg viene lasciato da fermo a un’altezza di 6 m su una pista liscia che porta a un giro della morte verticale di raggio 2 m. Trova la forza normale N che la pista esercita sul carrello nel punto più alto del giro.
Un proiettile di 5 g viene sparato orizzontalmente in un blocco di legno di 5 kg appeso a fili leggeri, e vi resta conficcato. Il blocco oscilla verso l’alto finché si trova 25 cm più in alto rispetto all’inizio. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v del proiettile prima dell’impatto.
A un incrocio un’auto di 1600 kg che viaggia verso est a 15 m/s urta un’auto di 1400 kg che viaggia verso nord a 23 m/s. Le auto restano agganciate. Trova la direzione θ dei rottami subito dopo l’urto, misurata da est verso nord.
Un volano con momento d’inerzia di 23,5 kg·m² ruota a 2000 rpm. Un freno applica una coppia d’attrito costante di 70 N·m. Quanti giri N compie il volano prima di fermarsi?
Un sfera cava rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale. Usa g = 9,81 m/s². Parte da fermo. Quanto tempo t impiega a rotolare per 5,5 m lungo il piano?
Una puleggia da 200 mm a 720 giri/min aziona con una cinghia una puleggia da 500 mm con slittamento del 1 %. Trova la velocità n2 della puleggia condotta.
In un rotismo composto, la ruota A (48 denti) sull’albero di ingresso gira a 1450 rpm e aziona la ruota B (80 denti). La ruota C (72 denti) è calettata sullo stesso albero di B e aziona la ruota D sull’albero di uscita. L’uscita deve girare a 783 rpm. Quanti denti ND deve avere la ruota D?
Quanto deve essere lungo un pendolo semplice per avere un periodo di 2,4 s? Usa g = 9,81 m/s². Trova L.
Una massa di 0,2 kg viene attaccata all’estremità inferiore di una molla verticale non allungata con k = 120 N/m e lasciata da ferma. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’allungamento massimo xmax della molla in cm.
Una massa di 250 kg su una molla con rigidezza di 50 kN/m ha uno smorzatore viscoso che dà un fattore di smorzamento di 0,35. Trova la frequenza naturale smorzata fd delle sue vibrazioni libere in Hz.
Una massa di 40 kg è appesa a due molle affiancate (in parallelo), con rigidezze k₁ = 15 kN/m e k₂ = 15 kN/m. La massa resta orizzontale. Trascura lo smorzamento e le masse delle molle. Trova la frequenza naturale fn delle vibrazioni verticali in Hz.
Risposta: t = 21,33 s
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
In quell’istante l’auto della polizia viaggia a 2v = 64 m/s.
Risposta: t = 2,2 s
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Il verso verso l’alto è positivo, il suolo è y = 0.
Risposta: a = 0,9151 m/s²
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Risposta: d = 6,713 m
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Entrambe le forze sono dirette verso valle; la massa si semplifica.
Risposta: H = 4,674 m
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
In cima la velocità verticale è zero: vy² = 2gH.
Risposta: x = 102,5 m
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
Risolvi y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 per la radice positiva.
Risposta: θ = 10,61 °
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Risposta: Nbottom = 157 N
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Il verso verso il centro è positivo.
Risposta: P = 14,34 kW
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d). La potenza è forza per velocità: P = F·v.
Risposta: N = 4,905 N
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d). Su una traiettoria circolare la forza risultante verso il centro deve essere uguale a mv²/r.
Il carrello riesce appena a completare il giro quando h = 2,5R; allora N = 0 nel punto più alto.
Risposta: v = 2217 m/s
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risposta: θ = 53,3 °
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risposta: N = 1172 rev
Rotazione attorno a un asse fisso: la somma dei momenti rispetto all’asse è uguale a I·α (ΣM = I·α), proprio come ΣF = m·a per la traslazione. In forma energetica, una coppia T che ruota di un angolo θ (in radianti) compie il lavoro T·θ, che modifica l’energia cinetica ½·I·ω²; la gravità aggiunge o toglie m·g·Δh del baricentro. La potenza è P = T·ω.
Risposta: t = 1,933 s
Rotolamento e momento angolare: un corpo che rotola senza strisciare ha v = ω·r, quindi la sua energia cinetica è ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Lungo un piano inclinato questo dà a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nessun momento esterno agisce rispetto a un asse, il momento angolare rispetto a quell’asse resta costante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, anche se si perde energia cinetica.
Risposta: n2 = 285,1 rpm
Trasmissioni a cinghia: senza slittamento, entrambe le pulegge hanno la stessa velocità periferica v = π·d·n/60, quindi n₁·d₁ = n₂·d₂ e il rapporto di velocità è d₂/d₁. Lo slittamento s rende la puleggia condotta un po’ più lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potenza trasmessa è P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensione sul lato teso e T₂ sul lato lento. L’attrito limita il rapporto tra le tensioni: T₁/T₂ = eμθ, dove θ è l’angolo di avvolgimento in radianti sulla puleggia più piccola; per una cinghia aperta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con interasse C.
Risposta: ND = 80
Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Risposta: L = 1,431 m
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: xmax = 3,27 cm
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: fd = 2,108 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Risposta: fn = 4,359 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Le molle affiancate hanno la stessa deformazione e sommano le loro forze, quindi le rigidezze si sommano semplicemente: k = k1 + k2.
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