Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Un’auto che viaggia a 54 km/h frena con una decelerazione costante di 4 m/s² fino a fermarsi. Trova lo spazio di frenata s.
Un tram parte da fermo e accelera a 1 m/s² per 6 s, poi viaggia a velocità costante per 28 s, e infine frena a 2,5 m/s² fino a fermarsi. Trova la distanza totale s tra le due fermate.
Un blocco di 13 kg scivola lungo un pendio inclinato di 20° sull’orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,3. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione a del blocco lungo il pendio.
Un blocco di 1 kg su un tavolo orizzontale è collegato, tramite un filo leggero che passa su una carrucola senza attrito, a una massa appesa di 1 kg. Il tavolo è privo di attrito. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione a del sistema.
Una palla viene lanciata a 45° sopra l’orizzontale da terreno pianeggiante. Trascura la resistenza dell’aria. Trova la distanza orizzontale x percorsa prima che la palla tocchi terra.
Una palla viene lanciata a 34 m/s e 70° sopra l’orizzontale dalla cima di una scogliera di 10 m. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova l’altezza massima H rispetto al suolo alla base della scogliera.
In un rotor del luna park, i passeggeri stanno appoggiati alla parete di un cilindro verticale di raggio 3,6 m. Quando gira abbastanza veloce il pavimento si abbassa e l’attrito li sostiene. Il coefficiente di attrito statico è 0,8. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità angolare minima ω in rad/s.
Una palla legata a un filo lungo 1,1 m viene fatta ruotare su una circonferenza verticale. Usa g = 9,81 m/s². Qual è la velocità minima vmin nel punto più alto per cui il filo resta appena teso?
Un blocco scivola da fermo lungo un pendio inclinato di 40° sull’orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,3. Trova la sua velocità v dopo aver percorso 10 m lungo il pendio.
Un blocco di 20 kg parte da fermo alla base di un pendio di 35° e viene tirato su per il pendio da una forza costante di 275 N parallela al pendio. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,15. Trova la velocità v del blocco dopo che ha percorso 8 m lungo il pendio.
Un proiettile di 15 g viene sparato orizzontalmente in un blocco di legno di 3 kg appeso a fili leggeri, e vi resta conficcato. Il blocco oscilla verso l’alto finché si trova 14 cm più in alto rispetto all’inizio. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v del proiettile prima dell’impatto.
Una palla di 0,35 kg colpisce una parete a 23 m/s e rimbalza indietro in linea retta a 18 m/s. Il contatto dura 20 ms. Trova il modulo dell’impulso J che la parete imprime alla palla.
Un volano con momento d’inerzia di 22 kg·m² ruota a 700 rpm. Un freno applica una coppia d’attrito costante di 125 N·m. Quanti giri N compie il volano prima di fermarsi?
Un’asta sottile omogenea di massa 3,5 kg e lunghezza 1,7 m è appesa da ferma a un perno privo di attrito nel suo estremo superiore. Un proiettile da 30 g che si muove orizzontalmente a 460 m/s colpisce l’asta a 1,18 m sotto il perno e vi rimane conficcato. Trova la velocità angolare ω dell’asta subito dopo l’urto.
Due alberi paralleli distano 270 mm. Devono essere collegati da una coppia di ruote dentate cilindriche a denti diritti con modulo di 5 mm e un rapporto di riduzione di 5 : 1. Quanti denti N1 deve avere il pignone?
In un rotismo epicicloidale il solare ha 18 denti e ogni satellite ha 18 denti. La corona è bloccata e il solare è azionato a 1200 rpm. Trova la velocità nc del portatreno.
Una massa di 2 kg attaccata a una molla con k = 110 N/m oscilla su una superficie priva di attrito con un’ampiezza di 11 cm. Trova la sua velocità v quando si trova a 2 cm dall’equilibrio.
Una massa di 3,9 kg attaccata a una molla con k = 240 N/m viene spostata di 15 cm dalla posizione di equilibrio e lasciata andare. Trova l’energia totale E dell’oscillazione.
Una massa di 5 kg è sostenuta da una molla con rigidezza di 4 kN/m e da uno smorzatore viscoso con coefficiente di smorzamento di 70 N·s/m. Trova il fattore di smorzamento ζ.
Una massa di 10 kg è appesa a due molle collegate una dopo l’altra (in serie): la molla superiore ha k₁ = 25 kN/m e quella inferiore k₂ = 15 kN/m. Trova la rigidezza equivalente keq del sistema di molle in kN/m.
Risposta: s = 28,13 m
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Risposta: s = 193,2 m
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Risposta: a = 0,5897 m/s²
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Verso il basso lungo il pendio è positivo.
Risposta: a = 4,905 m/s²
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Risposta: x = 26,1 m
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
Partenza e arrivo alla stessa quota: t = 2vy/g.
Risposta: H = 62,03 m
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
Risposta: ω = 1,846 rad/s
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Risposta: vmin = 3,285 m/s
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Risposta: v = 9,001 m/s
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
Il blocco scende di un’altezza d·sin θ mentre l’attrito toglie μmg·cos θ·d. La massa si semplifica.
Risposta: v = 10,52 m/s
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
Risposta: v = 333,1 m/s
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risposta: J = 14,35 N·s
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risposta: N = 75,26 rev
Rotazione attorno a un asse fisso: la somma dei momenti rispetto all’asse è uguale a I·α (ΣM = I·α), proprio come ΣF = m·a per la traslazione. In forma energetica, una coppia T che ruota di un angolo θ (in radianti) compie il lavoro T·θ, che modifica l’energia cinetica ½·I·ω²; la gravità aggiunge o toglie m·g·Δh del baricentro. La potenza è P = T·ω.
Risposta: ω = 4,771 rad/s
Rotolamento e momento angolare: un corpo che rotola senza strisciare ha v = ω·r, quindi la sua energia cinetica è ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Lungo un piano inclinato questo dà a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nessun momento esterno agisce rispetto a un asse, il momento angolare rispetto a quell’asse resta costante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, anche se si perde energia cinetica.
La forza del perno passa per il perno, quindi durante l’urto non ha momento rispetto ad esso.
Risposta: N1 = 18
Geometria degli ingranaggi: il modulo m determina la dimensione dei denti. Una ruota con N denti ha diametro primitivo d = m·N, due ruote che ingranano hanno lo stesso modulo, e il loro interasse è a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. La velocità periferica sulla primitiva è v = π·d·n/60, e la forza tangenziale sul dente si ricava dalla coppia: Ft = 2T/d.
Risposta: nc = 300 rpm
Rotismi epicicloidali: le velocità di solare, corona e portatreno sono legate dalla formula di Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: visto dal portatreno, il rotismo è un rotismo ordinario con i satelliti come ruote oziose. Bloccando un elemento il rotismo diventa un riduttore a rapporto unico.
Poni nr = 0 e ricava la velocità del portatreno.
Il portatreno gira nello stesso verso del solare.
Risposta: v = 0,8022 m/s
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: E = 2,7 J
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: ζ = 0,2475
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, quindi il sistema è sottosmorzato e oscilla mentre si smorza.
Risposta: keq = 9,375 kN/m
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Le molle in serie hanno la stessa forza e sommano le loro deformazioni, quindi si combinano come reciproci: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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