Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Un aereo ha bisogno di una velocità di 200 km/h per decollare e la pista utilizzabile è lunga 900 m. Partendo da fermo, quale accelerazione costante a gli serve?
La palla A viene lasciata cadere da ferma da un’altezza di 15 m. Nello stesso istante la palla B viene lanciata verticalmente verso l’alto dal suolo, esattamente sotto, a 27 m/s. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². A quale altezza y dal suolo si incontrano?
Una scatola scivola su un pavimento orizzontale con una velocità iniziale di 5,5 m/s e si ferma dopo 31 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova il coefficiente di attrito dinamico μ.
Due blocchi su un pavimento orizzontale sono collegati da un filo leggero orizzontale. Una forza orizzontale di 125 N tira il blocco anteriore da 8 kg; il blocco da 11 kg viene trainato dietro. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,15 per entrambi i blocchi. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione a dei blocchi.
Una palla viene lanciata da un terreno piano a 20° sopra l’orizzontale e atterra a 85 m di distanza. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità di lancio v0.
Una palla viene lanciata dal livello del suolo a 27 m/s e 30° sopra l’orizzontale. Atterra sul tetto piano di un edificio alto 4 m, mentre scende. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova la distanza orizzontale x dal punto di lancio al punto di atterraggio.
In un rotor del luna park, i passeggeri stanno appoggiati alla parete di un cilindro verticale di raggio 1,5 m. Quando gira abbastanza veloce il pavimento si abbassa e l’attrito li sostiene. Il coefficiente di attrito statico è 0,7. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità angolare minima ω in rad/s.
Una palla legata a un filo lungo 0,7 m viene fatta ruotare su una circonferenza verticale. Usa g = 9,81 m/s². Qual è la velocità minima vmin nel punto più alto per cui il filo resta appena teso?
Un’auto che viaggia a 50 km/h su una strada orizzontale frena bruscamente e slitta fino a fermarsi con le ruote bloccate. Il coefficiente di attrito dinamico tra pneumatici e strada è 0,8. Trova lo spazio di arresto d.
Un blocco di 2 kg parte da fermo alla base di un pendio di 35° e viene tirato su per il pendio da una forza costante di 35 N parallela al pendio. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,25. Trova la velocità v del blocco dopo che ha percorso 4 m lungo il pendio.
Un proiettile di 11 kg che si muove orizzontalmente a 13 m/s esplode in due frammenti che si muovono lungo la stessa retta. Il frammento di 8 kg prosegue in avanti a 51 m/s. Trova la velocità v′2 del frammento di 3 kg (positiva nel verso originario).
Una palla di 0,2 kg colpisce una parete a 8 m/s e rimbalza indietro in linea retta a 4 m/s. Il contatto dura 10 ms. Trova il modulo dell’impulso J che la parete imprime alla palla.
Un blocco da 9 kg è appeso a una fune leggera avvolta attorno a una puleggia, un disco pieno omogeneo di massa 11,5 kg e raggio 0,35 m che ruota su un asse orizzontale privo di attrito. Il blocco viene rilasciato da fermo. Usa g = 9,81 m/s². Trova la tensione T nella fune.
Un sfera piena rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di 15° rispetto all’orizzontale. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione a del suo centro.
Un motore da 1,1 kW che gira a 1440 rpm aziona un pignone con 18 denti, che ingrana con una ruota con 32 denti. La coppia di ruote ha un rendimento del 97 %. Trova il momento torcente in uscita T2 sull’albero della ruota.
In un rotismo epicicloidale il solare ha 24 denti e ogni satellite ha 24 denti. La corona è bloccata e il solare è azionato a 1500 rpm. Trova la velocità nc del portatreno.
Un astronauta su un altro pianeta trova che un pendolo semplice lungo 0,9 m ha un periodo di 3,09 s per piccole oscillazioni. Trova l’accelerazione di gravità g su quel pianeta.
Una massa attaccata a una molla con k = 350 N/m oscilla su una superficie priva di attrito con un’ampiezza di 13 cm. Trova l’energia U immagazzinata nella molla quando la massa si trova a 1 cm dall’equilibrio.
Una massa di 5 kg è sostenuta da una molla con rigidezza di 200 kN/m e da uno smorzatore viscoso con coefficiente di smorzamento di 200 N·s/m. Trova il fattore di smorzamento ζ.
Una massa di 40 kg è appesa a due molle collegate una dopo l’altra (in serie): la molla superiore ha k₁ = 80 kN/m e quella inferiore k₂ = 40 kN/m. Trova la rigidezza equivalente keq del sistema di molle in kN/m.
Risposta: a = 1,715 m/s²
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Risposta: y = 13,49 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Il verso verso l’alto è positivo, il suolo è y = 0.
Risposta: μ = 0,04974
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Risposta: a = 5,107 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Risposta: v0 = 36,02 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Risposta: x = 56,46 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Radice maggiore: la palla sta scendendo.
Risposta: ω = 3,057 rad/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Risposta: vmin = 2,62 m/s
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Risposta: d = 12,29 m
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
Raddoppiando la velocità lo spazio di arresto diventa quattro volte più lungo.
Risposta: v = 8,883 m/s
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
Risposta: v′2 = −88,33 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Il segno meno significa che il secondo frammento vola all’indietro.
Risposta: J = 2,4 N·s
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risposta: T = 34,42 N
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Risposta: a = 1,814 m/s²
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Risposta: T2 = 12,58 N·m
Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Risposta: nc = 375 rpm
Rotismi epicicloidali: le velocità di solare, corona e portatreno sono legate dalla formula di Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: visto dal portatreno, il rotismo è un rotismo ordinario con i satelliti come ruote oziose. Bloccando un elemento il rotismo diventa un riduttore a rapporto unico.
Poni nr = 0 e ricava la velocità del portatreno.
Il portatreno gira nello stesso verso del solare.
Risposta: g = 3,721 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Risposta: U = 0,0175 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Risposta: ζ = 0,1
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, quindi il sistema è sottosmorzato e oscilla mentre si smorza.
Risposta: keq = 26,67 kN/m
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Le molle in serie hanno la stessa forza e sommano le loro deformazioni, quindi si combinano come reciproci: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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