Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Una conducente che viaggia a 72 km/h vede un ostacolo. Il suo tempo di reazione è 1,4 s, dopo il quale l’auto frena con una decelerazione costante di 6 m/s². Trova lo spazio di arresto totale d dal momento in cui vede l’ostacolo.
Un tram parte da fermo e accelera a 3 m/s² per 8 s, poi viaggia a velocità costante per 30 s, e infine frena a 5 m/s² fino a fermarsi. Trova la distanza totale s tra le due fermate.
Una scatola di 50 kg viene spinta a velocità costante su una rampa inclinata di 30° sull’orizzontale, con una forza parallela alla rampa. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,25. Usa g = 9,81 m/s². Trova la forza di spinta F.
Un blocco di 1 kg su un tavolo orizzontale è collegato, tramite un filo leggero che passa su una carrucola senza attrito, a una massa appesa di 1,5 kg. Il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e tavolo è 0,2. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione a del sistema.
Una palla viene lanciata da un terreno piano a 38 m/s e deve atterrare a 100 m di distanza. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova il minore dei due possibili angoli di lancio θ.
Una palla viene lanciata a 35° sopra l’orizzontale dalla cima di una scogliera alta 55 m. Trascura la resistenza dell’aria. Trova il tempo di volo t finché la palla tocca terra.
Un’auto percorre una curva piana di raggio 130 m. Il coefficiente di attrito statico tra pneumatici e strada è 0,6. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità massima vmax con cui l’auto può percorrere la curva senza slittare.
Una pallina di 0,4 kg attaccata a un filo leggero lungo 0,8 m viene fatta ruotare su una circonferenza verticale. Nel punto più basso la sua velocità è 11 m/s. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova la tensione Ttop nel filo nel punto più alto.
Un blocco di 2 kg scivola per 10 m lungo un pendio inclinato di 20° sull’orizzontale, con un coefficiente di attrito dinamico di 0,1. Trova il lavoro Wf compiuto contro l’attrito.
Un blocco di 4 kg viene lasciato da fermo all’altezza 3 m su una rampa liscia. In fondo attraversa una striscia orizzontale ruvida lunga 4 m (μ = 0,25) e poi arriva contro una molla (k = 1500 N/m) su una superficie liscia. Trova la compressione massima x della molla.
Un carrello di 2 kg che si muove a 5 m/s urta frontalmente, in modo perfettamente elastico, un carrello di 3 kg fermo su una rotaia senza attrito. Trova la velocità v′1 del primo carrello dopo l’urto (positiva nel suo verso iniziale).
A un incrocio un’auto di 1200 kg che viaggia verso est a 17 m/s urta un’auto di 1800 kg che viaggia verso nord a 13 m/s. Le auto restano agganciate. Trova la direzione θ dei rottami subito dopo l’urto, misurata da est verso nord.
Un’asta sottile omogenea di massa 2,5 kg e lunghezza 2,1 m è incernierata a un estremo e rilasciata da ferma in posizione orizzontale. Trascura l’attrito e usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità angolare ω dell’asta quando passa per la posizione verticale.
Un anello sottile rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di 25° rispetto all’orizzontale. Usa g = 9,81 m/s². Trova il minimo coefficiente di attrito statico μs che gli impedisce di strisciare.
Un motore da 1,5 kW che gira a 1450 rpm aziona un pignone con 24 denti e modulo di 5 mm. Trova la forza tangenziale Ft sui denti del pignone.
Una cinghia aperta collega una puleggia motrice da 150 mm a 1440 giri/min a una puleggia da 200 mm; gli assi distano 800 mm. Il coefficiente di attrito è 0,3 e la tensione sul lato teso non può superare 1200 N. Trova la massima potenza P che la cinghia può trasmettere senza slittare, in kW (trascura gli effetti centrifughi).
Una massa di 3 kg attaccata a una molla con k = 150 N/m oscilla su una superficie priva di attrito con un’ampiezza di 7 cm. Trova la sua velocità v quando si trova a 5 cm dall’equilibrio.
Una massa di 1,4 kg attaccata a una molla con k = 40 N/m viene spostata di 17 cm dalla posizione di equilibrio e lasciata andare. Trova l’energia totale E dell’oscillazione.
Una massa di 2 kg è sostenuta da una molla con rigidezza di 10 kN/m e da uno smorzatore viscoso con coefficiente di smorzamento di 140 N·s/m. Trova il fattore di smorzamento ζ.
Una massa di 5 kg è appesa a due molle affiancate (in parallelo), con rigidezze k₁ = 10 kN/m e k₂ = 25 kN/m. La massa resta orizzontale. Trascura lo smorzamento e le masse delle molle. Trova la frequenza naturale fn delle vibrazioni verticali in Hz.
Risposta: d = 61,33 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Risposta: s = 873,6 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Risposta: F = 351,4 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Velocità costante: le forze si equilibrano.
Risposta: a = 5,101 m/s²
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Risposta: θ = 21,4 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
L’altra soluzione è 90° − θ = 68,6°.
Risposta: t = 4,953 s
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
Risolvi y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 per la radice positiva.
Risposta: vmax = 27,66 m/s
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Risposta: Ttop = 40,88 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
L’energia cinetica si trasforma in energia potenziale su un dislivello di 2r.
Tensione e gravità sono entrambe dirette verso il basso, verso il centro.
Risposta: Wf = 18,44 J
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
Risposta: x = 32,35 cm
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
La rampa è liscia, quindi solo la striscia toglie energia.
Risposta: v′1 = −1 m/s
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risolvendo insieme la conservazione della quantità di moto e quella dell’energia si ottengono questi due risultati.
Il segno meno significa che il primo carrello rimbalza indietro.
Risposta: θ = 48,92 °
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Risposta: ω = 3,744 rad/s
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Risposta: μs = 0,2332
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Risposta: Ft = 164,6 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Risposta: P = 8,183 kW
Trasmissioni a cinghia: senza slittamento, entrambe le pulegge hanno la stessa velocità periferica v = π·d·n/60, quindi n₁·d₁ = n₂·d₂ e il rapporto di velocità è d₂/d₁. Lo slittamento s rende la puleggia condotta un po’ più lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potenza trasmessa è P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensione sul lato teso e T₂ sul lato lento. L’attrito limita il rapporto tra le tensioni: T₁/T₂ = eμθ, dove θ è l’angolo di avvolgimento in radianti sulla puleggia più piccola; per una cinghia aperta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con interasse C.
Risposta: v = 0,3464 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Risposta: E = 0,578 J
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: ζ = 0,495
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, quindi il sistema è sottosmorzato e oscilla mentre si smorza.
Risposta: fn = 13,32 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Le molle affiancate hanno la stessa deformazione e sommano le loro forze, quindi le rigidezze si sommano semplicemente: k = k1 + k2.
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