Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Una conducente che viaggia a 90 km/h vede un ostacolo. Il suo tempo di reazione è 1,4 s, dopo il quale l’auto frena con una decelerazione costante di 7 m/s². Trova lo spazio di arresto totale d dal momento in cui vede l’ostacolo.
Una palla viene lanciata verticalmente verso l’alto a 9 m/s dal bordo di un tetto a 30 m dal suolo. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Quanto tempo dopo il lancio tocca il suolo? Trova t.
Una scatola scivola su un pavimento orizzontale con una velocità iniziale di 3,5 m/s e si ferma dopo 4,2 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova il coefficiente di attrito dinamico μ.
Un blocco di 7 kg su un tavolo orizzontale è collegato, tramite un filo leggero che passa su una carrucola senza attrito, a una massa appesa di 6 kg. Il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e tavolo è 0,2. Usa g = 9,81 m/s². Trova la tensione T nel filo.
Una palla viene lanciata da un terreno piano a 60° sopra l’orizzontale e atterra a 90 m di distanza. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità di lancio v0.
Una palla viene lanciata a 25° sopra l’orizzontale dalla cima di una scogliera alta 40 m. Trascura la resistenza dell’aria. Trova il tempo di volo t finché la palla tocca terra.
In un rotor del luna park, i passeggeri stanno appoggiati alla parete di un cilindro verticale di raggio 1,8 m. Quando gira abbastanza veloce il pavimento si abbassa e l’attrito li sostiene. Il coefficiente di attrito statico è 0,6. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità angolare minima ω in rad/s.
Una palla di 1,3 kg legata a un filo lungo 0,7 m viene fatta ruotare su una circonferenza verticale. Nel punto più basso si muove a 4,5 m/s. Usa g = 9,81 m/s². Trova la tensione T nel filo nel punto più basso.
Una pallina di 0,5 kg è appesa a un filo leggero di lunghezza 2 m. Viene spostata lateralmente finché il filo forma 50° con la verticale e lasciata da ferma. Trova la tensione T nel filo quando la pallina passa per il punto più basso.
Un blocco di 4 kg viene lasciato da fermo all’altezza 1 m su una rampa liscia. In fondo attraversa una striscia orizzontale ruvida lunga 2 m (μ = 0,1) e poi arriva contro una molla (k = 1000 N/m) su una superficie liscia. Trova la velocità v del blocco quando raggiunge la molla.
Un carrello di 0,5 kg che si muove a 8 m/s urta frontalmente, in modo perfettamente elastico, un carrello di 3,5 kg fermo su una rotaia senza attrito. Trova la velocità v′1 del primo carrello dopo l’urto (positiva nel suo verso iniziale).
Un proiettile di 12 g viene sparato orizzontalmente in un blocco di 3 kg appeso a fili leggeri lunghi 1,2 m, e vi resta conficcato. I fili oscillano fino a un angolo massimo di 40° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v del proiettile prima dell’impatto.
Un volano con momento d’inerzia di 39 kg·m² ruota a 2500 rpm. Un freno applica una coppia d’attrito costante di 105 N·m. Quanti giri N compie il volano prima di fermarsi?
Un’asta sottile omogenea di massa 9,5 kg e lunghezza 1,1 m è appesa da ferma a un perno privo di attrito nel suo estremo superiore. Un proiettile da 15 g che si muove orizzontalmente a 600 m/s colpisce l’asta a 0,89 m sotto il perno e vi rimane conficcato. Trova la velocità angolare ω dell’asta subito dopo l’urto.
Un motore da 1,1 kW che gira a 1450 rpm aziona un pignone con 72 denti, che ingrana con una ruota con 80 denti. La coppia di ruote ha un rendimento del 96 %. Trova il momento torcente in uscita T2 sull’albero della ruota.
Una cinghia aperta collega una puleggia da 80 mm e una puleggia da 200 mm con gli assi a 500 mm di distanza. Trova l’angolo di avvolgimento θ sulla puleggia più piccola, in gradi.
Quanto deve essere lungo un pendolo semplice per avere un periodo di 2,6 s? Usa g = 9,81 m/s². Trova L.
Una massa di 1,6 kg viene attaccata all’estremità inferiore di una molla verticale non allungata con k = 220 N/m e lasciata da ferma. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità massima vmax della massa.
In una prova di vibrazioni libere su un sistema massa–molla smorzato, a un picco di spostamento di 50 mm segue, 4 cicli dopo, un picco di 14,2 mm. Trova il fattore di smorzamento ζ.
Una massa di 25 kg è appesa a due molle affiancate (in parallelo), con rigidezze k₁ = 5 kN/m e k₂ = 5 kN/m. La massa resta orizzontale. Trova la rigidezza equivalente keq del sistema di molle in kN/m.
Risposta: d = 79,64 m
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Risposta: t = 3,555 s
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Verso l’alto è positivo e il suolo si trova h₀ sotto il punto di partenza.
Solo la radice positiva ha significato fisico.
Risposta: μ = 0,1487
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Risposta: T = 38,03 N
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Risposta: v0 = 31,93 m/s
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
Risposta: t = 4,737 s
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
Risolvi y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 per la radice positiva.
Risposta: ω = 3,014 rad/s
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Risposta: T = 50,36 N
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Verso il centro (verso l’alto) è positivo.
Risposta: T = 8,409 N
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d). Su una traiettoria circolare la forza risultante verso il centro deve essere uguale a mv²/r.
Verifica: T = mg(3 − 2cos θ) = 8,409 N.
Risposta: v = 3,962 m/s
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
La rampa è liscia, quindi solo la striscia toglie energia.
Risposta: v′1 = −6 m/s
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risolvendo insieme la conservazione della quantità di moto e quella dell’energia si ottengono questi due risultati.
Il segno meno significa che il primo carrello rimbalza indietro.
Risposta: v = 589,1 m/s
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risposta: N = 2026 rev
Rotazione attorno a un asse fisso: la somma dei momenti rispetto all’asse è uguale a I·α (ΣM = I·α), proprio come ΣF = m·a per la traslazione. In forma energetica, una coppia T che ruota di un angolo θ (in radianti) compie il lavoro T·θ, che modifica l’energia cinetica ½·I·ω²; la gravità aggiunge o toglie m·g·Δh del baricentro. La potenza è P = T·ω.
Risposta: ω = 2,084 rad/s
Rotolamento e momento angolare: un corpo che rotola senza strisciare ha v = ω·r, quindi la sua energia cinetica è ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Lungo un piano inclinato questo dà a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nessun momento esterno agisce rispetto a un asse, il momento angolare rispetto a quell’asse resta costante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, anche se si perde energia cinetica.
La forza del perno passa per il perno, quindi durante l’urto non ha momento rispetto ad esso.
Risposta: T2 = 7,727 N·m
Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Risposta: θ = 166,2 °
Trasmissioni a cinghia: senza slittamento, entrambe le pulegge hanno la stessa velocità periferica v = π·d·n/60, quindi n₁·d₁ = n₂·d₂ e il rapporto di velocità è d₂/d₁. Lo slittamento s rende la puleggia condotta un po’ più lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potenza trasmessa è P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensione sul lato teso e T₂ sul lato lento. L’attrito limita il rapporto tra le tensioni: T₁/T₂ = eμθ, dove θ è l’angolo di avvolgimento in radianti sulla puleggia più piccola; per una cinghia aperta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con interasse C.
Risposta: L = 1,68 m
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: vmax = 0,8366 m/s
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
La velocità è massima nella posizione di equilibrio.
Risposta: ζ = 0,05002
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Risposta: keq = 10 kN/m
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Le molle affiancate hanno la stessa deformazione e sommano le loro forze, quindi le rigidezze si sommano semplicemente: k = k1 + k2.
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