Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Un’auto che viaggia a 60 km/h frena con una decelerazione costante di 5 m/s² fino a fermarsi. Trova lo spazio di frenata s.
La palla A viene lasciata cadere da ferma da un’altezza di 50 m. Nello stesso istante la palla B viene lanciata verticalmente verso l’alto dal suolo, esattamente sotto, a 26 m/s. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Quando si incontrano le palle? Trova t.
Una scatola di 10 kg viene spinta a velocità costante su una rampa inclinata di 20° sull’orizzontale, con una forza parallela alla rampa. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,15. Usa g = 9,81 m/s². Trova la forza di spinta F.
Un blocco di 2 kg su un tavolo orizzontale è collegato, tramite un filo leggero che passa su una carrucola senza attrito, a una massa appesa di 5,5 kg. Il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e tavolo è 0,3. Usa g = 9,81 m/s². Trova la tensione T nel filo.
Una palla viene lanciata da un terreno piano a 25° sopra l’orizzontale e atterra a 15 m di distanza. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità di lancio v0.
Una palla viene lanciata a 31 m/s e 60° sopra l’orizzontale dalla cima di una scogliera di 60 m. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v con cui tocca il suolo.
Una curva di raggio 160 m è sopraelevata di 20°. A quale velocità v un’auto può percorrerla senza alcun bisogno di attrito? Usa g = 9,81 m/s².
Una palla di 0,5 kg legata a un filo lungo 0,8 m viene fatta ruotare su una circonferenza verticale. Nel punto più basso si muove a 4 m/s. Usa g = 9,81 m/s². Trova la tensione T nel filo nel punto più basso.
Un blocco scivola da fermo lungo un pendio inclinato di 20° sull’orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,1. Trova la sua velocità v dopo aver percorso 3 m lungo il pendio.
Un blocco di 2,5 kg viene lasciato da fermo all’altezza 5 m su una rampa liscia. In fondo attraversa una striscia orizzontale ruvida lunga 1,5 m (μ = 0,2) e poi arriva contro una molla (k = 2000 N/m) su una superficie liscia. Trova la compressione massima x della molla.
Un carrello di 3,5 kg che si muove a 11 m/s urta frontalmente, in modo perfettamente elastico, un carrello di 1,5 kg fermo su una rotaia senza attrito. Trova la velocità v′2 del secondo carrello dopo l’urto.
Una palla di 0,4 kg colpisce una parete a 23 m/s e rimbalza indietro in linea retta a 15 m/s. Il contatto dura 10 ms. Trova la forza media Favg della parete sulla palla.
Un blocco da 3,5 kg è appeso a una fune leggera avvolta attorno a una puleggia, un disco pieno omogeneo di massa 14,5 kg e raggio 0,2 m che ruota su un asse orizzontale privo di attrito. Il blocco viene rilasciato da fermo. Usa g = 9,81 m/s². Trova la tensione T nella fune.
Un anello sottile parte da fermo e rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di 35° rispetto all’orizzontale. Usa g = 9,81 m/s². Il suo raggio è 0,35 m. Trova la sua velocità angolare ω dopo che ha rotolato per 4,5 m lungo il piano.
Un motore da 15 kW che gira a 1440 rpm aziona un pignone con 12 denti, che ingrana con una ruota con 36 denti. La coppia di ruote ha un rendimento del 98 %. Trova il momento torcente T1 sull’albero del motore.
In un rotismo epicicloidale il solare ha 24 denti e ogni satellite ha 24 denti. La corona è bloccata e il solare è azionato a 1500 rpm. Trova la velocità nc del portatreno.
Un pendolo semplice ha una lunghezza di 1,4 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova il suo periodo T per piccole oscillazioni.
Una massa di 0,2 kg viene attaccata all’estremità inferiore di una molla verticale non allungata con k = 300 N/m e lasciata da ferma. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’allungamento massimo xmax della molla in cm.
Una massa di 20 kg su una molla con rigidezza di 150 kN/m ha uno smorzatore viscoso che dà un fattore di smorzamento di 0,3. Trova la frequenza naturale smorzata fd delle sue vibrazioni libere in Hz.
Una massa di 100 kg è appesa alla molla k₃ = 100 kN/m. L’estremità superiore di k₃ è fissata a una barra rigida appesa a due molle affiancate, k₁ = 30 kN/m e k₂ = 60 kN/m; la barra resta orizzontale. Trascura lo smorzamento e le masse delle molle e della barra. Trova la frequenza naturale fn delle vibrazioni verticali in Hz.
Risposta: s = 27,78 m
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Risposta: t = 1,923 s
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Il verso verso l’alto è positivo, il suolo è y = 0.
Risposta: F = 47,38 N
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Velocità costante: le forze si equilibrano.
Risposta: T = 18,7 N
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Risposta: v0 = 13,86 m/s
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
Risposta: v = 46,24 m/s
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
Energia oppure v² = v₀² + 2as in direzione verticale.
Verifica con l’energia: v² = v₀² + 2gh.
Risposta: v = 23,9 m/s
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Risposta: T = 14,91 N
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Verso il centro (verso l’alto) è positivo.
Risposta: v = 3,821 m/s
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
Il blocco scende di un’altezza d·sin θ mentre l’attrito toglie μmg·cos θ·d. La massa si semplifica.
Risposta: x = 33,95 cm
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
La rampa è liscia, quindi solo la striscia toglie energia.
Risposta: v′2 = 15,4 m/s
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risolvendo insieme la conservazione della quantità di moto e quella dell’energia si ottengono questi due risultati.
Risposta: Favg = 1520 N
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risposta: T = 23,16 N
Rotazione attorno a un asse fisso: la somma dei momenti rispetto all’asse è uguale a I·α (ΣM = I·α), proprio come ΣF = m·a per la traslazione. In forma energetica, una coppia T che ruota di un angolo θ (in radianti) compie il lavoro T·θ, che modifica l’energia cinetica ½·I·ω²; la gravità aggiunge o toglie m·g·Δh del baricentro. La potenza è P = T·ω.
Risposta: ω = 14,38 rad/s
Rotolamento e momento angolare: un corpo che rotola senza strisciare ha v = ω·r, quindi la sua energia cinetica è ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Lungo un piano inclinato questo dà a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nessun momento esterno agisce rispetto a un asse, il momento angolare rispetto a quell’asse resta costante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, anche se si perde energia cinetica.
Rotolamento senza strisciamento: ω = v/r, e l’attrito non compie lavoro nel punto di contatto.
Risposta: T1 = 99,47 N·m
Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Risposta: nc = 375 rpm
Rotismi epicicloidali: le velocità di solare, corona e portatreno sono legate dalla formula di Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: visto dal portatreno, il rotismo è un rotismo ordinario con i satelliti come ruote oziose. Bloccando un elemento il rotismo diventa un riduttore a rapporto unico.
Poni nr = 0 e ricava la velocità del portatreno.
Il portatreno gira nello stesso verso del solare.
Risposta: T = 2,374 s
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: xmax = 1,308 cm
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: fd = 13,15 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Risposta: fn = 3,464 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Solo k1 e k2 sono in parallelo. Questa coppia è in serie con k3, quindi combinale come reciproci.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics