Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Un aereo parte da fermo e accelera uniformemente a 4 m/s² lungo una pista. Trova la sua velocità v dopo 2000 m.
Una palla viene lanciata verticalmente verso l’alto a 20 m/s dal bordo di un tetto a 20 m dal suolo. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova l’altezza massima hmax dal suolo.
Una scatola di 10 kg viene spinta a velocità costante su una rampa inclinata di 25° sull’orizzontale, con una forza parallela alla rampa. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,3. Usa g = 9,81 m/s². Trova la forza di spinta F.
Due blocchi su un pavimento orizzontale sono collegati da un filo leggero orizzontale. Una forza orizzontale di 55 N tira il blocco anteriore da 6 kg; il blocco da 9 kg viene trainato dietro. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,1 per entrambi i blocchi. Usa g = 9,81 m/s². Trova la tensione T nel filo di collegamento.
Una palla viene lanciata a 20° sopra l’orizzontale da terreno pianeggiante. Trascura la resistenza dell’aria. Trova il tempo di volo t finché la palla tocca terra.
Una palla viene lanciata dal livello del suolo a 27 m/s e 50° sopra l’orizzontale. Atterra sul tetto piano di un edificio alto 6 m, mentre scende. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova la distanza orizzontale x dal punto di lancio al punto di atterraggio.
Una pallina appesa a un filo di lunghezza 1,7 m si muove su una circonferenza orizzontale in modo che il filo formi un angolo costante di 25° con la verticale (pendolo conico). Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v della pallina.
Una palla legata a un filo lungo 1 m viene fatta ruotare su una circonferenza verticale. Usa g = 9,81 m/s². Qual è la velocità minima vmin nel punto più alto per cui il filo resta appena teso?
Un’auto che viaggia a 30 km/h su una strada orizzontale frena bruscamente e slitta fino a fermarsi con le ruote bloccate. Il coefficiente di attrito dinamico tra pneumatici e strada è 0,4. Trova lo spazio di arresto d.
Un carrello di 10 kg viene lasciato da fermo a un’altezza di 18 m su una pista liscia che porta a un giro della morte verticale di raggio 4 m. Trova la forza normale N che la pista esercita sul carrello nel punto più alto del giro.
Un proiettile di 18 kg che si muove orizzontalmente a 15 m/s esplode in due frammenti che si muovono lungo la stessa retta. Il frammento di 15 kg prosegue in avanti a 51 m/s. Trova la velocità v′2 del frammento di 3 kg (positiva nel verso originario).
Una palla di 0,35 kg colpisce una parete a 11 m/s e rimbalza indietro in linea retta a 7 m/s. Il contatto dura 25 ms. Trova il modulo dell’impulso J che la parete imprime alla palla.
Un’asta sottile omogenea di massa 8,5 kg e lunghezza 2,8 m è incernierata a un estremo e tenuta orizzontale. Viene rilasciata da ferma. Usa g = 9,81 m/s². Trova la forza verticale R che la cerniera esercita sull’asta subito dopo il rilascio.
Un cilindro pieno rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di 25° rispetto all’orizzontale. Usa g = 9,81 m/s². Parte da fermo. Quanto tempo t impiega a rotolare per 9,5 m lungo il piano?
Un motore da 7,5 kW che gira a 2900 rpm aziona un pignone con 18 denti, che ingrana con una ruota con 24 denti. Trascura le perdite. Trova il momento torcente in uscita T2 sull’albero della ruota.
In un rotismo composto, la ruota A (40 denti) sull’albero di ingresso, che gira a 2900 rpm, aziona la ruota B (60 denti). La ruota C (45 denti) è calettata sullo stesso albero di B e aziona la ruota D (80 denti) sull’albero di uscita. Trova la velocità di uscita nout.
Una massa di 2,3 kg attaccata a una molla con k = 110 N/m oscilla su una superficie priva di attrito con un’ampiezza di 12 cm. Trova la sua velocità v quando si trova a 10 cm dall’equilibrio.
Una massa di 2,6 kg attaccata a una molla con k = 220 N/m viene spostata di 3 cm dalla posizione di equilibrio e lasciata andare. Trova la sua velocità massima vmax.
Una massa di 12 kg è sostenuta da una molla con rigidezza di 80 kN/m e da uno smorzatore viscoso con coefficiente di smorzamento di 390 N·s/m. Trova il fattore di smorzamento ζ.
Una massa di 50 kg è appesa a due molle collegate una dopo l’altra (in serie): la molla superiore ha k₁ = 40 kN/m e quella inferiore k₂ = 50 kN/m. Trova la rigidezza equivalente keq del sistema di molle in kN/m.
Risposta: v = 126,5 m/s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Risposta: hmax = 40,39 m
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Risposta: F = 68,13 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Velocità costante: le forze si equilibrano.
Risposta: T = 33 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Con lo stesso μ su entrambi i blocchi l’attrito scompare: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Risposta: t = 1,395 s
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
Partenza e arrivo alla stessa quota: t = 2vy/g.
Risposta: x = 67,74 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Radice maggiore: la palla sta scendendo.
Risposta: v = 1,813 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Tensione e gravità insieme danno la forza verso il centro: tan θ = v²/(r·g).
Risposta: vmin = 3,132 m/s
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Risposta: d = 8,849 m
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
Raddoppiando la velocità lo spazio di arresto diventa quattro volte più lungo.
Risposta: N = 392,4 N
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d). Su una traiettoria circolare la forza risultante verso il centro deve essere uguale a mv²/r.
Il carrello riesce appena a completare il giro quando h = 2,5R; allora N = 0 nel punto più alto.
Risposta: v′2 = −165 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Il segno meno significa che il secondo frammento vola all’indietro.
Risposta: J = 6,3 N·s
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risposta: R = 20,85 N
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Nell’istante del rilascio ω = 0, quindi non c’è accelerazione centripeta e il centro accelera verticalmente verso il basso.
R = m·g/4, indipendente dalla lunghezza.
Risposta: t = 2,622 s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Risposta: T2 = 32,93 N·m
Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Risposta: nout = 1088 rpm
Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.
rapporto totale = 2,667 : 1
Risposta: v = 0,4587 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Risposta: vmax = 0,276 m/s
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: ζ = 0,199
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, quindi il sistema è sottosmorzato e oscilla mentre si smorza.
Risposta: keq = 22,22 kN/m
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Le molle in serie hanno la stessa forza e sommano le loro deformazioni, quindi si combinano come reciproci: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics