Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Un’auto che viaggia a una velocità costante di 34 m/s supera un’auto della polizia ferma. In quell’istante l’auto della polizia parte e accelera uniformemente a 3 m/s². Quanto tempo impiega l’auto della polizia a raggiungerla? Trova t.
Una palla viene lanciata verticalmente verso l’alto a 17 m/s dal bordo di un tetto a 5 m dal suolo. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Quanto tempo dopo il lancio tocca il suolo? Trova t.
Un blocco di 14 kg scivola lungo un pendio inclinato di 45° sull’orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,2. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione a del blocco lungo il pendio.
Un blocco di 5 kg su un tavolo orizzontale è collegato, tramite un filo leggero che passa su una carrucola senza attrito, a una massa appesa di 2,5 kg. Il tavolo è privo di attrito. Usa g = 9,81 m/s². Trova la tensione T nel filo.
Una palla viene lanciata da un terreno piano a 34 m/s e deve atterrare a 40 m di distanza. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova il minore dei due possibili angoli di lancio θ.
Una palla viene lanciata a 25 m/s e 35° sopra l’orizzontale dalla cima di una scogliera di 25 m. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova l’altezza massima H rispetto al suolo alla base della scogliera.
Una pallina appesa a un filo di lunghezza 1,7 m si muove su una circonferenza orizzontale in modo che il filo formi un angolo costante di 40° con la verticale (pendolo conico). Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v della pallina.
Una palla di 1,6 kg legata a un filo lungo 1,4 m viene fatta ruotare su una circonferenza verticale. Nel punto più basso si muove a 6 m/s. Usa g = 9,81 m/s². Trova la tensione T nel filo nel punto più basso.
Un’auto di 2000 kg sale lungo una pendenza di 8° a velocità costante di 90 km/h. La resistenza dell’aria e la resistenza al rotolamento insieme valgono 550 N. Trova la potenza P che le ruote devono fornire, in kW.
Una molla di rigidezza 1000 N/m alla base di un pendio di 40° viene compressa di 8 cm contro un blocco di 1 kg e rilasciata. Il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e pendio è 0,1. Quanto risale d il blocco lungo il pendio dal punto di rilascio prima di fermarsi? (Trascura il breve tratto in cui la molla spinge, cioè considera attrito e gravità su tutta la distanza d.)
Un’auto di 2000 kg che si muove a 12 m/s urta un’auto ferma di 600 kg e le due restano agganciate. Quanta energia cinetica ΔK si perde nell’urto?
A un incrocio un’auto di 1900 kg che viaggia verso est a 24 m/s urta un’auto di 1200 kg che viaggia verso nord a 15 m/s. Le auto restano agganciate. Trova la direzione θ dei rottami subito dopo l’urto, misurata da est verso nord.
Un albero trasmette 53 kW a 2800 rpm. Trova la coppia T nell’albero.
Un’asta sottile omogenea di massa 6,5 kg e lunghezza 1,7 m è appesa da ferma a un perno privo di attrito nel suo estremo superiore. Un proiettile da 10 g che si muove orizzontalmente a 220 m/s colpisce l’asta a 1,08 m sotto il perno e vi rimane conficcato. Trova la velocità angolare ω dell’asta subito dopo l’urto.
Due alberi paralleli distano 250 mm. Devono essere collegati da una coppia di ruote dentate cilindriche a denti diritti con modulo di 5 mm e un rapporto di riduzione di 4 : 1. Quanti denti N1 deve avere il pignone?
In un rotismo composto, la ruota A (32 denti) sull’albero di ingresso, che gira a 1500 rpm, aziona la ruota B (45 denti). La ruota C (18 denti) è calettata sullo stesso albero di B e aziona la ruota D (24 denti) sull’albero di uscita. Trova la velocità di uscita nout.
Un pendolo semplice ha una lunghezza di 1,4 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova il suo periodo T per piccole oscillazioni.
Una massa attaccata a una molla con k = 430 N/m oscilla su una superficie priva di attrito con un’ampiezza di 9 cm. Trova l’energia U immagazzinata nella molla quando la massa si trova a 8 cm dall’equilibrio.
Una massa di 2 kg su una molla con rigidezza di 2 kN/m ha uno smorzatore viscoso che dà un fattore di smorzamento di 0,4. Trova la frequenza naturale smorzata fd delle sue vibrazioni libere in Hz.
Una massa di 100 kg è appesa a due molle collegate una dopo l’altra (in serie): la molla superiore ha k₁ = 12 kN/m e quella inferiore k₂ = 60 kN/m. Trova la rigidezza equivalente keq del sistema di molle in kN/m.
Risposta: t = 22,67 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
In quell’istante l’auto della polizia viaggia a 2v = 68 m/s.
Risposta: t = 3,739 s
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Verso l’alto è positivo e il suolo si trova h₀ sotto il punto di partenza.
Solo la radice positiva ha significato fisico.
Risposta: a = 5,549 m/s²
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Verso il basso lungo il pendio è positivo.
Risposta: T = 16,35 N
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Risposta: θ = 9,922 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
L’altra soluzione è 90° − θ = 80,08°.
Risposta: H = 35,48 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Risposta: v = 2,999 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Tensione e gravità insieme danno la forza verso il centro: tan θ = v²/(r·g).
Risposta: T = 56,84 N
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Verso il centro (verso l’alto) è positivo.
Risposta: P = 82,01 kW
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d). La potenza è forza per velocità: P = F·v.
Risposta: d = 0,4534 m
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
Risposta: ΔK = 33231 J
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
L’energia persa va in deformazione, calore e suono.
Risposta: θ = 21,54 °
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Risposta: T = 180,8 N·m
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Risposta: ω = 0,3787 rad/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
La forza del perno passa per il perno, quindi durante l’urto non ha momento rispetto ad esso.
Risposta: N1 = 20
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Risposta: nout = 800 rpm
Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.
rapporto totale = 1,875 : 1
Risposta: T = 2,374 s
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: U = 1,376 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Risposta: fd = 4,613 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Risposta: keq = 10 kN/m
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Le molle in serie hanno la stessa forza e sommano le loro deformazioni, quindi si combinano come reciproci: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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