Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Un’auto che viaggia a 90 km/h frena con una decelerazione costante di 4 m/s² fino a fermarsi. Trova lo spazio di frenata s.
La palla A viene lasciata cadere da ferma da un’altezza di 20 m. Nello stesso istante la palla B viene lanciata verticalmente verso l’alto dal suolo, esattamente sotto, a 21 m/s. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². A quale altezza y dal suolo si incontrano?
Una scatola scivola su un pavimento orizzontale con una velocità iniziale di 7 m/s e si ferma dopo 10 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova il coefficiente di attrito dinamico μ.
A un blocco viene data una spinta in modo che inizi a risalire una rampa inclinata di 35° con una velocità di 8 m/s. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,15. Usa g = 9,81 m/s². Quanta strada d percorre lungo la rampa prima di fermarsi?
Una palla viene lanciata da un terreno piano a 60° sopra l’orizzontale e atterra a 25 m di distanza. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità di lancio v0.
Una palla viene lanciata a 55° sopra l’orizzontale dalla cima di una scogliera alta 5 m. Trascura la resistenza dell’aria. Trova la distanza orizzontale x percorsa prima che la palla tocchi terra.
Una pallina appesa a un filo di lunghezza 2 m si muove su una circonferenza orizzontale in modo che il filo formi un angolo costante di 20° con la verticale (pendolo conico). Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v della pallina.
Un carrello di 1,5 kg viene lasciato da fermo a un’altezza di 31,5 m su una pista priva di attrito e percorre un giro della morte verticale di raggio 9 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la forza normale Nbottom della pista sul carrello nel punto più basso del giro.
Un’auto di 2000 kg sale lungo una pendenza di 6° a velocità costante di 36 km/h. La resistenza dell’aria e la resistenza al rotolamento insieme valgono 450 N. Trova la potenza P che le ruote devono fornire, in kW.
Un blocco di 2 kg viene lasciato da fermo all’altezza 2 m su una rampa liscia. In fondo attraversa una striscia orizzontale ruvida lunga 1 m (μ = 0,1) e poi arriva contro una molla (k = 4000 N/m) su una superficie liscia. Trova la compressione massima x della molla.
Un’auto di 800 kg che si muove a 12 m/s urta un’auto ferma di 1000 kg e le due restano agganciate. Quanta energia cinetica ΔK si perde nell’urto?
Un proiettile di 5 g viene sparato orizzontalmente in un blocco di 5 kg appeso a fili leggeri lunghi 1,1 m, e vi resta conficcato. I fili oscillano fino a un angolo massimo di 35° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v del proiettile prima dell’impatto.
Un motore eroga una coppia di 1050 N·m a 1400 rpm. Trova la sua potenza in uscita P in kW.
Un sfera cava parte da fermo e rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di 10° rispetto all’orizzontale. Usa g = 9,81 m/s². Il suo raggio è 0,4 m. Trova la sua velocità angolare ω dopo che ha rotolato per 4 m lungo il piano.
Due alberi paralleli distano 56,25 mm. Devono essere collegati da una coppia di ruote dentate cilindriche a denti diritti con modulo di 2,5 mm e un rapporto di riduzione di 2 : 1. Quanti denti N2 deve avere la ruota?
Una cinghia aperta collega una puleggia da 150 mm e una puleggia da 400 mm con gli assi a 500 mm di distanza. Trova l’angolo di avvolgimento θ sulla puleggia più piccola, in gradi.
Un astronauta su un altro pianeta trova che un pendolo semplice lungo 1,6 m ha un periodo di 2,37 s per piccole oscillazioni. Trova l’accelerazione di gravità g su quel pianeta.
Una massa di 2,3 kg attaccata a una molla con k = 440 N/m viene spostata di 8 cm dalla posizione di equilibrio e lasciata andare. Trova la sua accelerazione massima amax.
Una massa di 40 kg su una molla con rigidezza di 100 kN/m ha uno smorzatore viscoso che dà un fattore di smorzamento di 0,4. Trova la frequenza naturale smorzata fd delle sue vibrazioni libere in Hz.
Una massa di 100 kg è appesa a due molle collegate una dopo l’altra (in serie): la molla superiore ha k₁ = 100 kN/m e quella inferiore k₂ = 12 kN/m. Trascura lo smorzamento e le masse delle molle. Trova la frequenza naturale fn delle vibrazioni verticali in Hz.
Risposta: s = 78,13 m
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Risposta: y = 15,55 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Il verso verso l’alto è positivo, il suolo è y = 0.
Risposta: μ = 0,2497
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Risposta: d = 4,684 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Entrambe le forze sono dirette verso valle; la massa si semplifica.
Risposta: v0 = 16,83 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Risposta: x = 41,54 m
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
Risolvi y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 per la radice positiva.
Risposta: v = 1,563 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Tensione e gravità insieme danno la forza verso il centro: tan θ = v²/(r·g).
Risposta: Nbottom = 117,7 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Il verso verso il centro è positivo.
Risposta: P = 25,01 kW
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d). La potenza è forza per velocità: P = F·v.
Risposta: x = 13,65 cm
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
La rampa è liscia, quindi solo la striscia toglie energia.
Risposta: ΔK = 32000 J
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
L’energia persa va in deformazione, calore e suono.
Risposta: v = 1978 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Risposta: P = 153,9 kW
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Risposta: ω = 7,149 rad/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Rotolamento senza strisciamento: ω = v/r, e l’attrito non compie lavoro nel punto di contatto.
Risposta: N2 = 30
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Risposta: θ = 151 °
Trasmissioni a cinghia: senza slittamento, entrambe le pulegge hanno la stessa velocità periferica v = π·d·n/60, quindi n₁·d₁ = n₂·d₂ e il rapporto di velocità è d₂/d₁. Lo slittamento s rende la puleggia condotta un po’ più lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potenza trasmessa è P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensione sul lato teso e T₂ sul lato lento. L’attrito limita il rapporto tra le tensioni: T₁/T₂ = eμθ, dove θ è l’angolo di avvolgimento in radianti sulla puleggia più piccola; per una cinghia aperta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con interasse C.
Risposta: g = 11,25 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Risposta: amax = 15,3 m/s²
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: fd = 7,293 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Risposta: fn = 1,647 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Le molle in serie hanno la stessa forza e sommano le loro deformazioni, quindi si combinano come reciproci: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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