Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Un’auto che viaggia a 80 km/h frena con una decelerazione costante di 4 m/s² fino a fermarsi. Quanto dura la frenata? Trova t.
Una palla viene lanciata verticalmente verso l’alto a 6 m/s dal bordo di un tetto a 20 m dal suolo. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova l’altezza massima hmax dal suolo.
Un blocco di 15 kg scivola lungo un pendio inclinato di 25° sull’orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,2. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione a del blocco lungo il pendio.
A un blocco viene data una spinta in modo che inizi a risalire una rampa inclinata di 30° con una velocità di 6 m/s. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,15. Usa g = 9,81 m/s². Quanta strada d percorre lungo la rampa prima di fermarsi?
Una palla viene lanciata da un terreno piano a 55° sopra l’orizzontale e atterra a 80 m di distanza. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità di lancio v0.
Una palla viene lanciata a 19 m/s e 50° sopra l’orizzontale dalla cima di una scogliera di 20 m. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Con quale angolo α sotto l’orizzontale tocca il suolo?
Un’auto percorre una curva piana di raggio 120 m. Il coefficiente di attrito statico tra pneumatici e strada è 0,7. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità massima vmax con cui l’auto può percorrere la curva senza slittare.
Una palla legata a un filo lungo 0,9 m viene fatta ruotare su una circonferenza verticale. Usa g = 9,81 m/s². Qual è la velocità minima vmin nel punto più alto per cui il filo resta appena teso?
Un blocco di 2,5 kg scivola per 12 m lungo un pendio inclinato di 35° sull’orizzontale, con un coefficiente di attrito dinamico di 0,1. Trova il lavoro Wf compiuto contro l’attrito.
Un blocco di 1 kg viene lasciato da fermo all’altezza 5 m su una rampa liscia. In fondo attraversa una striscia orizzontale ruvida lunga 2 m (μ = 0,1) e poi arriva contro una molla (k = 2000 N/m) su una superficie liscia. Trova la compressione massima x della molla.
Un’auto di 800 kg che si muove a 6 m/s urta un’auto ferma di 2000 kg e le due restano agganciate. Quanta energia cinetica ΔK si perde nell’urto?
Un’auto di 1000 kg urta un’auto parcheggiata di 1900 kg. I rottami restano agganciati e slittano per 18,5 m prima di fermarsi. Il coefficiente di attrito dinamico tra pneumatici e strada è 0,8. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v1 della prima auto subito prima dell’urto.
Un volano con momento d’inerzia di 4,5 kg·m² ruota a 600 rpm. Un freno applica una coppia d’attrito costante di 95 N·m. Quanto tempo t impiega a fermarsi?
Un anello sottile rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di 35° rispetto all’orizzontale. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione a del suo centro.
Una puleggia da 200 mm a 720 giri/min aziona con una cinghia una puleggia da 250 mm con slittamento del 4 %. Trova la velocità n2 della puleggia condotta.
Una cinghia aperta collega una puleggia da 200 mm e una puleggia da 315 mm con gli assi a 500 mm di distanza. Trova l’angolo di avvolgimento θ sulla puleggia più piccola, in gradi.
Un astronauta su un altro pianeta trova che un pendolo semplice lungo 1,6 m ha un periodo di 1,6 s per piccole oscillazioni. Trova l’accelerazione di gravità g su quel pianeta.
Una massa di 0,4 kg attaccata a una molla con k = 50 N/m viene spostata di 3 cm dalla posizione di equilibrio e lasciata andare. Trova la sua velocità massima vmax.
Una massa di 2 kg è sostenuta da una molla con rigidezza di 1 kN/m e da uno smorzatore viscoso con coefficiente di smorzamento di 20 N·s/m. Trova il fattore di smorzamento ζ.
Una massa di 25 kg è appesa a due molle affiancate (in parallelo), con rigidezze k₁ = 100 kN/m e k₂ = 60 kN/m. La massa resta orizzontale. Trova la rigidezza equivalente keq del sistema di molle in kN/m.
Risposta: t = 5,556 s
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Risposta: hmax = 21,83 m
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Risposta: a = 2,368 m/s²
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Verso il basso lungo il pendio è positivo.
Risposta: d = 2,913 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Entrambe le forze sono dirette verso valle; la massa si semplifica.
Risposta: v0 = 28,9 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Risposta: α = 63,58 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Energia oppure v² = v₀² + 2as in direzione verticale.
Risposta: vmax = 28,71 m/s
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Risposta: vmin = 2,971 m/s
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Risposta: Wf = 24,11 J
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
Risposta: x = 21,7 cm
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
La rampa è liscia, quindi solo la striscia toglie energia.
Risposta: ΔK = 10286 J
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
L’energia persa va in deformazione, calore e suono.
Risposta: v1 = 49,42 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Risposta: t = 2,976 s
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Risposta: a = 2,813 m/s²
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Risposta: n2 = 553 rpm
Trasmissioni a cinghia: senza slittamento, entrambe le pulegge hanno la stessa velocità periferica v = π·d·n/60, quindi n₁·d₁ = n₂·d₂ e il rapporto di velocità è d₂/d₁. Lo slittamento s rende la puleggia condotta un po’ più lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potenza trasmessa è P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensione sul lato teso e T₂ sul lato lento. L’attrito limita il rapporto tra le tensioni: T₁/T₂ = eμθ, dove θ è l’angolo di avvolgimento in radianti sulla puleggia più piccola; per una cinghia aperta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con interasse C.
Risposta: θ = 166,8 °
Trasmissioni a cinghia: senza slittamento, entrambe le pulegge hanno la stessa velocità periferica v = π·d·n/60, quindi n₁·d₁ = n₂·d₂ e il rapporto di velocità è d₂/d₁. Lo slittamento s rende la puleggia condotta un po’ più lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potenza trasmessa è P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensione sul lato teso e T₂ sul lato lento. L’attrito limita il rapporto tra le tensioni: T₁/T₂ = eμθ, dove θ è l’angolo di avvolgimento in radianti sulla puleggia più piccola; per una cinghia aperta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con interasse C.
Risposta: g = 24,67 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Risposta: vmax = 0,3354 m/s
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: ζ = 0,2236
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, quindi il sistema è sottosmorzato e oscilla mentre si smorza.
Risposta: keq = 160 kN/m
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Le molle affiancate hanno la stessa deformazione e sommano le loro forze, quindi le rigidezze si sommano semplicemente: k = k1 + k2.
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