Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Un’auto che viaggia a 120 km/h frena con una decelerazione costante di 6 m/s² fino a fermarsi. Quanto dura la frenata? Trova t.
La palla A viene lasciata cadere da ferma da un’altezza di 40 m. Nello stesso istante la palla B viene lanciata verticalmente verso l’alto dal suolo, esattamente sotto, a 30 m/s. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Quando si incontrano le palle? Trova t.
Una scatola di 50 kg viene spinta a velocità costante su una rampa inclinata di 40° sull’orizzontale, con una forza parallela alla rampa. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,15. Usa g = 9,81 m/s². Trova la forza di spinta F.
A un blocco viene data una spinta in modo che inizi a risalire una rampa inclinata di 30° con una velocità di 10,5 m/s. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,15. Usa g = 9,81 m/s². Quanta strada d percorre lungo la rampa prima di fermarsi?
Una palla viene calciata da un terreno piano a 24 m/s e 45° sopra l’orizzontale verso un muro a 41 m di distanza. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². A quale altezza y la palla passa il muro?
Una palla viene lanciata a 20° sopra l’orizzontale dalla cima di una scogliera alta 25 m. Trascura la resistenza dell’aria. Trova la distanza orizzontale x percorsa prima che la palla tocchi terra.
Un’auto percorre una curva piana di raggio 90 m. Il coefficiente di attrito statico tra pneumatici e strada è 0,4. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità massima vmax con cui l’auto può percorrere la curva senza slittare.
Una palla di 1,1 kg legata a un filo lungo 0,9 m viene fatta ruotare su una circonferenza verticale. Nel punto più basso si muove a 3 m/s. Usa g = 9,81 m/s². Trova la tensione T nel filo nel punto più basso.
Un blocco di 0,5 kg scivola per 9 m lungo un pendio inclinato di 45° sull’orizzontale, con un coefficiente di attrito dinamico di 0,3. Trova il lavoro Wf compiuto contro l’attrito.
Un blocco di 1 kg viene lasciato da fermo all’altezza 1,5 m su una rampa liscia. In fondo attraversa una striscia orizzontale ruvida lunga 3 m (μ = 0,15) e poi arriva contro una molla (k = 1000 N/m) su una superficie liscia. Trova la compressione massima x della molla.
Un’auto di 1200 kg che si muove a 25 m/s urta un’auto ferma di 1500 kg e le due restano agganciate. Quanta energia cinetica ΔK si perde nell’urto?
Un proiettile di 12 g viene sparato orizzontalmente in un blocco di 1,5 kg appeso a fili leggeri lunghi 1,8 m, e vi resta conficcato. I fili oscillano fino a un angolo massimo di 35° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v del proiettile prima dell’impatto.
Un’asta sottile omogenea di massa 14,5 kg e lunghezza 3 m è incernierata a un estremo e tenuta orizzontale. Viene rilasciata da ferma. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione atip dell’estremo libero subito dopo il rilascio.
Un anello sottile parte da fermo e rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di 35° rispetto all’orizzontale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la sua velocità v dopo che ha rotolato per 3 m lungo il piano.
Una puleggia da 125 mm a 2880 giri/min aziona con una cinghia una puleggia da 200 mm con slittamento del 1 %. Trova la velocità n2 della puleggia condotta.
Una cinghia aperta collega una puleggia motrice da 125 mm a 1440 giri/min a una puleggia da 200 mm; gli assi distano 600 mm. Il coefficiente di attrito è 0,3 e la tensione sul lato teso non può superare 1500 N. Trova la massima potenza P che la cinghia può trasmettere senza slittare, in kW (trascura gli effetti centrifughi).
Un astronauta su un altro pianeta trova che un pendolo semplice lungo 0,9 m ha un periodo di 3,09 s per piccole oscillazioni. Trova l’accelerazione di gravità g su quel pianeta.
Una massa di 2,7 kg attaccata a una molla con k = 340 N/m viene spostata di 17 cm dalla posizione di equilibrio e lasciata andare. Trova la sua accelerazione massima amax.
Una massa di 2 kg è sostenuta da una molla con rigidezza di 15 kN/m e da uno smorzatore viscoso con coefficiente di smorzamento di 50 N·s/m. Trova il fattore di smorzamento ζ.
Una massa di 40 kg è appesa a due molle affiancate (in parallelo), con rigidezze k₁ = 20 kN/m e k₂ = 15 kN/m. La massa resta orizzontale. Trascura lo smorzamento e le masse delle molle. Trova la frequenza naturale fn delle vibrazioni verticali in Hz.
Risposta: t = 5,556 s
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Risposta: t = 1,333 s
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Il verso verso l’alto è positivo, il suolo è y = 0.
Risposta: F = 371,6 N
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Velocità costante: le forze si equilibrano.
Risposta: d = 8,921 m
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Entrambe le forze sono dirette verso valle; la massa si semplifica.
Risposta: y = 12,37 m
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
Al muro la palla sta già scendendo.
Risposta: x = 36,81 m
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
Risolvi y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 per la radice positiva.
Risposta: vmax = 18,79 m/s
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Risposta: T = 21,79 N
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Verso il centro (verso l’alto) è positivo.
Risposta: Wf = 9,365 J
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
Risposta: x = 14,35 cm
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
La rampa è liscia, quindi solo la striscia toglie energia.
Risposta: ΔK = 208333 J
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
L’energia persa va in deformazione, calore e suono.
Risposta: v = 318,4 m/s
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risposta: atip = 14,71 m/s²
Rotazione attorno a un asse fisso: la somma dei momenti rispetto all’asse è uguale a I·α (ΣM = I·α), proprio come ΣF = m·a per la traslazione. In forma energetica, una coppia T che ruota di un angolo θ (in radianti) compie il lavoro T·θ, che modifica l’energia cinetica ½·I·ω²; la gravità aggiunge o toglie m·g·Δh del baricentro. La potenza è P = T·ω.
Nell’istante del rilascio ω = 0, quindi non c’è accelerazione centripeta e il centro accelera verticalmente verso il basso.
atip = 1,5·g per qualsiasi lunghezza: l’estremo libero cade più velocemente di un sasso lasciato cadere.
Risposta: v = 4,109 m/s
Rotolamento e momento angolare: un corpo che rotola senza strisciare ha v = ω·r, quindi la sua energia cinetica è ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Lungo un piano inclinato questo dà a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nessun momento esterno agisce rispetto a un asse, il momento angolare rispetto a quell’asse resta costante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, anche se si perde energia cinetica.
Rotolamento senza strisciamento: ω = v/r, e l’attrito non compie lavoro nel punto di contatto.
Risposta: n2 = 1782 rpm
Trasmissioni a cinghia: senza slittamento, entrambe le pulegge hanno la stessa velocità periferica v = π·d·n/60, quindi n₁·d₁ = n₂·d₂ e il rapporto di velocità è d₂/d₁. Lo slittamento s rende la puleggia condotta un po’ più lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potenza trasmessa è P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensione sul lato teso e T₂ sul lato lento. L’attrito limita il rapporto tra le tensioni: T₁/T₂ = eμθ, dove θ è l’angolo di avvolgimento in radianti sulla puleggia più piccola; per una cinghia aperta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con interasse C.
Risposta: P = 8,418 kW
Trasmissioni a cinghia: senza slittamento, entrambe le pulegge hanno la stessa velocità periferica v = π·d·n/60, quindi n₁·d₁ = n₂·d₂ e il rapporto di velocità è d₂/d₁. Lo slittamento s rende la puleggia condotta un po’ più lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potenza trasmessa è P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensione sul lato teso e T₂ sul lato lento. L’attrito limita il rapporto tra le tensioni: T₁/T₂ = eμθ, dove θ è l’angolo di avvolgimento in radianti sulla puleggia più piccola; per una cinghia aperta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con interasse C.
Risposta: g = 3,721 m/s²
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: amax = 21,41 m/s²
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: ζ = 0,1443
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, quindi il sistema è sottosmorzato e oscilla mentre si smorza.
Risposta: fn = 4,708 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Le molle affiancate hanno la stessa deformazione e sommano le loro forze, quindi le rigidezze si sommano semplicemente: k = k1 + k2.
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