Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Un’auto che viaggia a 54 km/h frena con una decelerazione costante di 5,5 m/s² fino a fermarsi. Trova lo spazio di frenata s.
Un tram parte da fermo e accelera a 1 m/s² per 9 s, poi viaggia a velocità costante per 15 s, e infine frena a 4 m/s² fino a fermarsi. Trova la distanza totale s tra le due fermate.
Una scatola scivola su un pavimento orizzontale con una velocità iniziale di 2,5 m/s e si ferma dopo 0,8 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova il coefficiente di attrito dinamico μ.
Un blocco di 1,5 kg su un tavolo orizzontale è collegato, tramite un filo leggero che passa su una carrucola senza attrito, a una massa appesa di 6 kg. Il tavolo è privo di attrito. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione a del sistema.
Una palla viene lanciata a 60° sopra l’orizzontale da terreno pianeggiante. Trascura la resistenza dell’aria. Trova il tempo di volo t finché la palla tocca terra.
Una palla viene lanciata a 25 m/s e 50° sopra l’orizzontale dalla cima di una scogliera di 20 m. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v con cui tocca il suolo.
Un’auto percorre una curva piana di raggio 50 m. Il coefficiente di attrito statico tra pneumatici e strada è 0,7. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità massima vmax con cui l’auto può percorrere la curva senza slittare.
Una curva di raggio 40 m è sopraelevata di 20°, e il coefficiente di attrito statico tra pneumatici e strada è 0,4. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità massima vmax alla quale un’auto può percorrere la curva senza scivolare verso l’alto e verso l’esterno.
Un blocco scivola da fermo lungo un pendio inclinato di 35° sull’orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,3. Trova la sua velocità v dopo aver percorso 11 m lungo il pendio.
Un blocco di 4 kg viene lasciato da fermo all’altezza 5 m su una rampa liscia. In fondo attraversa una striscia orizzontale ruvida lunga 2,5 m (μ = 0,25) e poi arriva contro una molla (k = 1500 N/m) su una superficie liscia. Trova la velocità v del blocco quando raggiunge la molla.
Un’auto di 1900 kg che si muove a 8 m/s urta un’auto ferma di 1100 kg e le due restano agganciate. Quale percentuale ΔK/K dell’energia cinetica iniziale si perde?
Una palla di 0,55 kg colpisce una parete a 29 m/s e rimbalza indietro in linea retta a 12 m/s. Il contatto dura 25 ms. Trova il modulo dell’impulso J che la parete imprime alla palla.
Un’asta sottile omogenea di massa 10 kg e lunghezza 1,2 m è incernierata a un estremo e rilasciata da ferma in posizione orizzontale. Una piccola sfera di massa 1,5 kg è fissata al suo estremo libero. Trascura l’attrito e usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v dell’estremo libero quando l’asta passa per la posizione verticale.
Un cilindro pieno parte da fermo e rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di 35° rispetto all’orizzontale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la sua velocità v dopo che ha rotolato per 3 m lungo il piano.
Un motore da 1,5 kW a 1440 rpm aziona una vite senza fine a 2 principi. La ruota elicoidale ha 40 denti e la trasmissione ha un rendimento del 65%. Trova la coppia in uscita Tw sull’albero della ruota.
In un rotismo composto, la ruota A (24 denti) sull’albero di ingresso, che gira a 3000 rpm, aziona la ruota B (40 denti). La ruota C (36 denti) è calettata sullo stesso albero di B e aziona la ruota D (45 denti) sull’albero di uscita. Trova la velocità di uscita nout.
Una massa di 2,9 kg attaccata a una molla con k = 190 N/m oscilla su una superficie priva di attrito con un’ampiezza di 5 cm. Trova la sua velocità v quando si trova a 1 cm dall’equilibrio.
Una massa di 1,4 kg attaccata a una molla con k = 70 N/m viene spostata di 14 cm dalla posizione di equilibrio e lasciata andare. Trova l’energia totale E dell’oscillazione.
In una prova di vibrazioni libere su un sistema massa–molla smorzato, a un picco di spostamento di 40 mm segue, un ciclo dopo, un picco di 31,1 mm. Trova il fattore di smorzamento ζ.
Una massa di 10 kg è appesa alla molla k₃ = 40 kN/m. L’estremità superiore di k₃ è fissata a una barra rigida appesa a due molle affiancate, k₁ = 15 kN/m e k₂ = 10 kN/m; la barra resta orizzontale. Trascura lo smorzamento e le masse delle molle e della barra. Trova la frequenza naturale fn delle vibrazioni verticali in Hz.
Risposta: s = 20,45 m
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Risposta: s = 185,6 m
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Risposta: μ = 0,3982
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Risposta: a = 7,848 m/s²
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Risposta: t = 6,709 s
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
Partenza e arrivo alla stessa quota: t = 2vy/g.
Risposta: v = 31,9 m/s
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
Energia oppure v² = v₀² + 2as in direzione verticale.
Verifica con l’energia: v² = v₀² + 2gh.
Risposta: vmax = 18,53 m/s
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Risposta: vmax = 18,73 m/s
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
L’attrito è diretto verso il basso lungo il pendio.
Risposta: v = 8,411 m/s
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
Il blocco scende di un’altezza d·sin θ mentre l’attrito toglie μmg·cos θ·d. La massa si semplifica.
Risposta: v = 9,265 m/s
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
La rampa è liscia, quindi solo la striscia toglie energia.
Risposta: ΔK/K = 36,67 %
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
L’energia persa va in deformazione, calore e suono.
Risposta: J = 22,55 N·s
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risposta: v = 5,627 m/s
Rotazione attorno a un asse fisso: la somma dei momenti rispetto all’asse è uguale a I·α (ΣM = I·α), proprio come ΣF = m·a per la traslazione. In forma energetica, una coppia T che ruota di un angolo θ (in radianti) compie il lavoro T·θ, che modifica l’energia cinetica ½·I·ω²; la gravità aggiunge o toglie m·g·Δh del baricentro. La potenza è P = T·ω.
Risposta: v = 4,744 m/s
Rotolamento e momento angolare: un corpo che rotola senza strisciare ha v = ω·r, quindi la sua energia cinetica è ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Lungo un piano inclinato questo dà a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nessun momento esterno agisce rispetto a un asse, il momento angolare rispetto a quell’asse resta costante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, anche se si perde energia cinetica.
Rotolamento senza strisciamento: ω = v/r, e l’attrito non compie lavoro nel punto di contatto.
Risposta: Tw = 129,3 N·m
Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Risposta: nout = 1440 rpm
Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.
rapporto totale = 2,083 : 1
Risposta: v = 0,3965 m/s
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: E = 0,686 J
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: ζ = 0,04002
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Risposta: fn = 6,243 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Solo k1 e k2 sono in parallelo. Questa coppia è in serie con k3, quindi combinale come reciproci.
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