Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Un’auto che viaggia a 108 km/h frena con una decelerazione costante di 5 m/s² fino a fermarsi. Trova lo spazio di frenata s.
La palla A viene lasciata cadere da ferma da un’altezza di 55 m. Nello stesso istante la palla B viene lanciata verticalmente verso l’alto dal suolo, esattamente sotto, a 28 m/s. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Quando si incontrano le palle? Trova t.
Una scatola di 30 kg viene spinta a velocità costante su una rampa inclinata di 20° sull’orizzontale, con una forza parallela alla rampa. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,4. Usa g = 9,81 m/s². Trova la forza di spinta F.
Un blocco di 2,5 kg su un tavolo orizzontale è collegato, tramite un filo leggero che passa su una carrucola senza attrito, a una massa appesa di 6 kg. Il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e tavolo è 0,2. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione a del sistema.
Una palla viene lanciata a 65° sopra l’orizzontale da terreno pianeggiante. Trascura la resistenza dell’aria. Trova il tempo di volo t finché la palla tocca terra.
Una palla viene lanciata a 55° sopra l’orizzontale dalla cima di una scogliera alta 60 m. Trascura la resistenza dell’aria. Trova la distanza orizzontale x percorsa prima che la palla tocchi terra.
Una pallina appesa a un filo di lunghezza 1 m si muove su una circonferenza orizzontale in modo che il filo formi un angolo costante di 30° con la verticale (pendolo conico). Usa g = 9,81 m/s². Trova il tempo T di un giro.
Una pallina di 0,9 kg attaccata a un filo leggero lungo 0,5 m viene fatta ruotare su una circonferenza verticale. Nel punto più basso la sua velocità è 9 m/s. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova la tensione Ttop nel filo nel punto più alto.
Un blocco di 10 kg scivola per 2 m lungo un pendio inclinato di 35° sull’orizzontale, con un coefficiente di attrito dinamico di 0,25. Trova il lavoro Wf compiuto contro l’attrito.
Un blocco di 2,5 kg viene lasciato da fermo all’altezza 2,5 m su una rampa liscia. In fondo attraversa una striscia orizzontale ruvida lunga 1,5 m (μ = 0,2) e poi arriva contro una molla (k = 4000 N/m) su una superficie liscia. Trova la compressione massima x della molla.
Un proiettile di 16 kg che si muove orizzontalmente a 18 m/s esplode in due frammenti che si muovono lungo la stessa retta. Il frammento di 5 kg prosegue in avanti a 36 m/s. Trova la velocità v′2 del frammento di 11 kg (positiva nel verso originario).
Un proiettile di 8 g viene sparato orizzontalmente in un blocco di 1 kg appeso a fili leggeri lunghi 1,1 m, e vi resta conficcato. I fili oscillano fino a un angolo massimo di 40° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v del proiettile prima dell’impatto.
Un’asta sottile omogenea di massa 6,5 kg e lunghezza 1,5 m è incernierata a un estremo e rilasciata da ferma in posizione orizzontale. Trascura l’attrito e usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità angolare ω dell’asta quando passa per la posizione verticale.
Un anello sottile di massa 13,5 kg rotola senza strisciare a 6 m/s. Trova la sua energia cinetica rotazionale Erot.
Due alberi paralleli distano 187,5 mm. Devono essere collegati da una coppia di ruote dentate cilindriche a denti diritti con modulo di 2,5 mm e un rapporto di riduzione di 4 : 1. Quanti denti N2 deve avere la ruota?
Una cinghia aperta collega una puleggia da 200 mm e una puleggia da 450 mm con gli assi a 1000 mm di distanza. Trova l’angolo di avvolgimento θ sulla puleggia più piccola, in gradi.
Una massa di 1,2 kg attaccata a una molla con k = 130 N/m viene spostata di 3 cm nel verso positivo e lasciata da ferma a t = 0. Trova il suo spostamento x dall’equilibrio a t = 0,9 s (con segno).
Una massa di 0,4 kg viene attaccata all’estremità inferiore di una molla verticale non allungata con k = 170 N/m e lasciata da ferma. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’allungamento massimo xmax della molla in cm.
Una massa di 150 kg su una molla con rigidezza di 200 kN/m ha uno smorzatore viscoso che dà un fattore di smorzamento di 0,4. Trova la frequenza naturale smorzata fd delle sue vibrazioni libere in Hz.
Una massa di 10 kg è appesa alla molla k₃ = 5 kN/m. L’estremità superiore di k₃ è fissata a una barra rigida appesa a due molle affiancate, k₁ = 40 kN/m e k₂ = 50 kN/m; la barra resta orizzontale. Trascura lo smorzamento e le masse delle molle e della barra. Trova la frequenza naturale fn delle vibrazioni verticali in Hz.
Risposta: s = 90 m
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Risposta: t = 1,964 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Il verso verso l’alto è positivo, il suolo è y = 0.
Risposta: F = 211,3 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Velocità costante: le forze si equilibrano.
Risposta: a = 6,348 m/s²
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Risposta: t = 3,326 s
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
Partenza e arrivo alla stessa quota: t = 2vy/g.
Risposta: x = 117,1 m
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
Risolvi y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 per la radice positiva.
Risposta: T = 1,867 s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Tensione e gravità insieme danno la forza verso il centro: tan θ = v²/(r·g).
Risposta: Ttop = 101,7 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
L’energia cinetica si trasforma in energia potenziale su un dislivello di 2r.
Tensione e gravità sono entrambe dirette verso il basso, verso il centro.
Risposta: Wf = 40,18 J
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
Risposta: x = 16,42 cm
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
La rampa è liscia, quindi solo la striscia toglie energia.
Risposta: v′2 = 9,818 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Risposta: v = 283,1 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Risposta: ω = 4,429 rad/s
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Risposta: Erot = 243 J
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Risposta: N2 = 120
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Risposta: θ = 165,6 °
Trasmissioni a cinghia: senza slittamento, entrambe le pulegge hanno la stessa velocità periferica v = π·d·n/60, quindi n₁·d₁ = n₂·d₂ e il rapporto di velocità è d₂/d₁. Lo slittamento s rende la puleggia condotta un po’ più lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potenza trasmessa è P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensione sul lato teso e T₂ sul lato lento. L’attrito limita il rapporto tra le tensioni: T₁/T₂ = eμθ, dove θ è l’angolo di avvolgimento in radianti sulla puleggia più piccola; per una cinghia aperta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con interasse C.
Risposta: x = −2,995 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Risposta: xmax = 4,616 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Risposta: fd = 5,326 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Risposta: fn = 3,464 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Solo k1 e k2 sono in parallelo. Questa coppia è in serie con k3, quindi combinale come reciproci.
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