Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 16 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.
Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.
Il generatore di tensione Vₛ tra A e B ha il morsetto + in B, quindi impone VB − VA = Vₛ. Usa il metodo dei nodi con un supernodo per trovare la tensione di nodo VB (misurata rispetto a massa).
Usa l’analisi nodale per trovare la tensione di nodo VB (misurata rispetto a massa).
Trova la tensione di Thévenin Vth vista dai morsetti a–b.
Trova la corrente di Norton IN: la corrente che scorre da a a b se i morsetti sono cortocircuitati.
L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la corrente i in t = 5 ms.
Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 4 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore vC in t = 60 ms.
Un circuito RLC serie con C = 10 µF deve entrare in risonanza a 50 Hz. Trova l’induttanza L necessaria.
Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 10 V (efficaci), 100 Hz. Trova la tensione efficace VC ai capi del condensatore.
Due carichi sono collegati in parallelo a un’alimentazione monofase da 240 V: un carico da 30 kW con fattore di potenza 0,65 induttivo e un carico da 24 kW con fattore di potenza 0,8 induttivo. Trova il fattore di potenza complessivo cos φ visto dall’alimentazione.
Un carico monofase assorbe 25 kW con un fattore di potenza di 0,8 induttivo da un’alimentazione da 230 V, 60 Hz. Un condensatore collegato in parallelo porta il fattore di potenza a 0,9. Trova la nuova corrente di linea Inew.
Un carico equilibrato a triangolo con un’impedenza di 18 + j24 Ω per fase è collegato a una rete trifase equilibrata con una tensione concatenata di 400 V. Trova la potenza attiva totale P assorbita dal carico in kW.
Un carico trifase equilibrato assorbe 300 kW con un fattore di potenza di 0,72 in ritardo da una rete a 690 V (tensione concatenata) e 60 Hz. Una batteria trifase di condensatori in parallelo al carico deve portare il fattore di potenza complessivo a 0,95 in ritardo. La potenza attiva resta invariata. I condensatori sono collegati a stella. Trova la capacità Cph di ciascun condensatore in µF.
A un trasformatore ideale con rapporto spire N₁:N₂ = 20:1 sono applicati 4600 V sull’avvolgimento primario. Un resistore da 4 Ω è collegato ai capi dell’avvolgimento secondario. Trova la corrente primaria I1.
Un trasformatore monofase da 500 kVA ha perdite nel ferro di 3000 W. Al carico nominale e con un fattore di potenza di 0,85 in ritardo il suo rendimento è del 98%. Trova le perdite nel rame a pieno carico Pcu,fl in watt.
Risposta: IR1 = 1,31 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
Risposta: Req = 19,83 Ω
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
Risposta: VB = 14,5 V
Analisi nodale: scegli un nodo di riferimento, assegna un nome alle tensioni di nodo incognite, scrivi la legge di Kirchhoff delle correnti in ogni nodo incognito usando la legge di Ohm (I = ΔV/R) e risolvi le equazioni.
Il generatore di tensione tra A e B porta una corrente incognita, quindi non si può scrivere la LKC in A o in B separatamente. Racchiudi A, B e il generatore in un unico supernodo: la corrente entrante è uguale a quella uscente.
Risposta: VB = 11,59 V
Analisi nodale: scegli un nodo di riferimento, assegna un nome alle tensioni di nodo incognite, scrivi la legge di Kirchhoff delle correnti in ogni nodo incognito usando la legge di Ohm (I = ΔV/R) e risolvi le equazioni.
La massa è il filo in basso. Le tensioni di nodo note vengono direttamente dai generatori (V1 = 30 V, V2 = 10 V). Incognite: VA, VB.
Le correnti che escono da A attraverso i resistori sono uguali alla corrente immessa in A dai generatori.
Le correnti che escono da B attraverso i resistori sono uguali alla corrente immessa in B dai generatori.
Risposta: Vth = 16 V
Teorema di Thévenin: ogni rete lineare a due morsetti si comporta come un unico generatore di tensione Vth in serie con una resistenza Rth. Il teorema di Norton dà la stessa rete come generatore di corrente IN = Vth/Rth in parallelo con Rth.
Sostituisci i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti, poi guarda il circuito da a–b.
Con a–b aperti, in R₃ non scorre corrente, quindi non c’è caduta su di essa e V_b = V_A. R₁ e R₂ formano un partitore di tensione.
Risposta: IN = 1,237 A
Teorema di Thévenin: ogni rete lineare a due morsetti si comporta come un unico generatore di tensione Vth in serie con una resistenza Rth. Il teorema di Norton dà la stessa rete come generatore di corrente IN = Vth/Rth in parallelo con Rth.
Sostituisci i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti, poi guarda il circuito da a–b.
Con a–b aperti, l’unico percorso per Iₛ è attraverso R₃ nel nodo A. Trova V_A per sovrapposizione di V₁ e Iₛ, poi aggiungi la caduta su R₃.
Un generatore di Norton è lo stesso circuito visto come un generatore di corrente in parallelo con R_th. La sua corrente è la corrente di cortocircuito tra a–b.
Risposta: i = 0,3893 A
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.
Risposta: vC = 10,42 V
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.
Risposta: L = 1013 mH
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC).
Risposta: VC = 7,848 V
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).
In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.
Risposta: cos φ = 0,7132
Potenza in AC: la potenza apparente S = V·I (VA) si divide in potenza attiva P = S·cos φ (W), che compie lavoro utile, e potenza reattiva Q = S·sin φ (var), che oscilla tra generatore e carico. Il fattore di potenza è cos φ. Un condensatore in parallelo fornisce potenza reattiva localmente, quindi la corrente di linea diminuisce a parità di potenza attiva.
Un carico induttivo assorbe potenza reattiva (Q > 0); un carico capacitivo la fornisce (Q < 0).
Risposta: Inew = 120,8 A
Potenza in AC: la potenza apparente S = V·I (VA) si divide in potenza attiva P = S·cos φ (W), che compie lavoro utile, e potenza reattiva Q = S·sin φ (var), che oscilla tra generatore e carico. Il fattore di potenza è cos φ. Un condensatore in parallelo fornisce potenza reattiva localmente, quindi la corrente di linea diminuisce a parità di potenza attiva.
La potenza attiva P non cambia; cambia solo la potenza reattiva prelevata dalla rete.
Risposta: P = 9,6 kW
Sistemi trifase equilibrati: in un collegamento a stella (Y) la tensione concatenata è √3 volte la tensione di fase, VL = √3·Vph, e la corrente di linea è uguale alla corrente di fase. In un collegamento a triangolo (Δ) la tensione concatenata è uguale alla tensione di fase e la corrente di linea è √3 volte la corrente di fase, IL = √3·Iph. La potenza totale è tre volte la potenza di una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Solo la parte resistiva di ogni impedenza assorbe potenza attiva.
Verifica: cos φ = R/|Z| = 0,6, e √3·VL·IL·cos φ dà la stessa potenza.
Risposta: Cph = 1062 µF
Sistemi trifase equilibrati: in un collegamento a stella (Y) la tensione concatenata è √3 volte la tensione di fase, VL = √3·Vph, e la corrente di linea è uguale alla corrente di fase. In un collegamento a triangolo (Δ) la tensione concatenata è uguale alla tensione di fase e la corrente di linea è √3 volte la corrente di fase, IL = √3·Iph. La potenza totale è tre volte la potenza di una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Rifasamento: i condensatori forniscono localmente potenza reattiva, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Ciascuno dei tre condensatori fornisce QC/3 = V²·ω·C, dove V è la tensione ai capi di quel condensatore: VL in una batteria a triangolo, VL/√3 in una batteria a stella.
La potenza attiva non cambia, quindi ogni fattore di potenza determina la potenza reattiva: Q = P·tan φ.
In una batteria a stella ogni condensatore è collegato tra una linea e il centro stella.
Risposta: I1 = 2,875 A
Trasformatore ideale: le tensioni stanno nel rapporto delle spire e le correnti nel rapporto inverso: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a e I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, quindi la potenza in ingresso è uguale a quella in uscita, V₁·I₁ = V₂·I₂. Un’impedenza di carico Z sul secondario appare come a²·Z vista dal primario.
Un trasformatore ideale non ha perdite: V₁·I₁ = V₂·I₂.
Verifica: il carico visto dal primario è a²·RL = 1600 Ω, e 4600/1600 dà la stessa corrente.
Risposta: Pcu,fl = 5673 W
Perdite del trasformatore: le perdite nel ferro (isteresi e correnti parassite) dipendono dalla tensione e sono le stesse a qualsiasi carico. Le perdite nel rame degli avvolgimenti variano con il quadrato della corrente, quindi a una frazione x del carico nominale valgono x²·Pcu,fl. Rendimento η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), con Pout = x·S·pf. Il rendimento è massimo al carico per cui le perdite nel rame sono uguali alle perdite nel ferro.
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