Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Calcola il limite L = limx→∞ (6x3 + 6x − 7)/(4x3 + 5x + 6).
Calcola il limite L = limx→0 (1 − cos 2x)/(4x²), con x in radianti.
Sia f(x) = x·sin(2x), con x in radianti. Trova f′(0,5).
Sia f(x) = x3 − 12x2 + 36x + 2. Trova l'ascissa x del minimo locale.
Calcola I = ∫28 3/x dx.
Trova l'area A della regione tra la parabola y = 1 − x² e l'asse x.
Scrivi z = 8∠−20° in forma cartesiana a + jb e dai la parte immaginaria b.
Una radice di z³ + 3z² − 8z + 10 = 0 è z₁ = 1 + j. I coefficienti sono reali. Trova la radice reale r.
Una tazza di caffè a 92 °C viene lasciata in una stanza a 23 °C. Dopo 15 min la sua temperatura è 36 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Quanto tempo dopo l’inizio, t, impiega a raggiungere 30 °C?
Un sistema obbedisce a y″ + 4y′ + 29y = 145 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova il valore di picco ymax della sua risposta al gradino.
Sia C = AB per le matrici mostrate. Trova l'elemento c12 (riga 1, colonna 2).
Risolvi il sistema x + y = −2 e −x − 5y = 3. Trova x.
Trova la proiezione scalare compb a di a = (−4, −3, −7) su b = (1, 6, −5), cioè la componente di a nella direzione di b.
Per a = (3, 5, −6) e b = (5, 0, −4), trova la componente x (a × b)x del prodotto vettoriale a × b.
In quanti modi N si può scegliere un comitato di 3 persone da un gruppo di 8? L'ordine non conta.
Un test ha 6 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,3, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 4 risposte corrette?
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 29, 55, 22, 43, 59, 34, 13.
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 25. Trova il punteggio z z di un voto pari a 462,5.
Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,4778. Trova z con due decimali.
Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 99 % dei dati (il 99° percentile).
Risposta: L = 1,5
Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).
A gradi uguali il limite è il rapporto dei coefficienti direttivi.
Risposta: L = 0,5
Limiti: prova prima la sostituzione diretta. Se dà 0/0, semplifica prima: scomponi e semplifica il fattore comune, oppure moltiplica per il coniugato. Per x → ∞, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di x. Regola di de l’Hôpital: se f/g dà 0/0 o ∞/∞, allora lim f/g = lim f′/g′, derivando separatamente numeratore e denominatore (non con la regola del quoziente).
Risposta: f′(0.5) = 1,382
Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.
Risposta: x = 6
Derivazione: la derivata f′(x) è la pendenza del grafico in x. Regola della potenza: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regola del prodotto: (uv)′ = u′v + uv′. Regola della catena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Dove f′(x) = 0 il grafico ha una tangente orizzontale: un massimo, un minimo o un punto di sella.
f″(x) = 6x − 24: negativa in un massimo, positiva in un minimo.
Risposta: I = 4,159
Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.
Risposta: A = 1,333
Integrali definiti: ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno tra il grafico e l'asse x da a a b. Trova una primitiva F (con F′ = f) e calcola F(b) − F(a). Regola della potenza: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'area tra due curve è ∫(superiore − inferiore) dx.
Risposta: b = −2,736
Forma polare: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, con r = |z| e θ = arg z. Per tornare alla forma cartesiana: a = r cos θ, b = r sin θ. L’argomento richiede il quadrante: θ = atan(b/a) solo quando a > 0; per a < 0 somma o sottrai 180°. In forma polare la moltiplicazione è facile: moltiplica i moduli e somma gli argomenti; per la divisione dividi i moduli e sottrai gli argomenti.
Risposta: r = −5
De Moivre e radici: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. L’equazione zⁿ = R∠φ ha esattamente n radici, tutte con modulo R1/n, agli argomenti (φ + 360°·k)/n per k = 0, 1, …, n − 1: giacciono equidistanziate su una circonferenza, a 360°/n l’una dall’altra. Un’equazione quadratica z² + pz + q = 0 con p² < 4q ha le radici complesse z = −p/2 ± j√(q − p²/4); un polinomio a coefficienti reali ha sempre le radici complesse in coppie coniugate a ± jb.
Verifica con la somma delle radici: z₁ + z₂ + r = 2 + (−5) = −3 = −(3).
Risposta: t = 20,56 min
Equazioni differenziali del primo ordine: dy/dt = k·y ha soluzione y = y₀·ekt (crescita per k > 0, decadimento per k < 0); un tempo di dimezzamento T dà k = ln 2/T. La legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dà T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Un’equazione lineare y′ + p(x)·y = q(x) si risolve con il fattore integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, quindi μy = ∫μq dx + C.
Risposta: ymax = 6,423
Equazioni lineari del secondo ordine: per y″ + b·y′ + c·y = 0 prova y = ert: si ottiene l’equazione caratteristica r² + b·r + c = 0. Due radici reali r₁ ≠ r₂ danno y = A·er₁t + B·er₂t (sovrasmorzato); una radice doppia r dà y = (A + Bt)·ert (smorzamento critico); radici complesse −α ± jω danno y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sottosmorzato, oscillante). I valori iniziali y(0) e y′(0) fissano A e B. Scritta come y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn è la pulsazione naturale e ζ il coefficiente di smorzamento: con ζ < 1 si ha oscillazione. Con un ingresso costante, y″ + by′ + cy = c·K, la soluzione è il valore a regime K più la risposta libera.
Risposta: c12 = 15
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Risposta: x = −1,75
Matrici: il determinante di una matrice 2×2 è ad − bc. Per una 3×3 sviluppa lungo una riga: ogni elemento per il determinante della 2×2 che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +. Gli autovalori λ risolvono det(A − λI) = 0; per una 2×2 è λ² − (traccia)·λ + det = 0.
Risposta: compb a = 1,651
Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Risposta: (a × b)x = −20
Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Controllo: a × b è perpendicolare a entrambi i vettori, quindi il suo prodotto scalare con a e con b è nullo.
Risposta: N = 56
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Risposta: P = 0,05953
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Risposta: s = 16,91
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Risposta: z = −1,5
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Risposta: z = 0,64
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Trova 0,7389 dentro la tabella e leggi z.
Risposta: x = 194,3 cm
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
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