Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio di coorte, le persone esposte hanno contribuito con 5600 persone-anno e 493 nuovi casi, e quelle non esposte con 2000 persone-anno e 44 nuovi casi. Trova il rapporto dei tassi di incidenza IRR (esposti rispetto a non esposti). Arrotonda a due cifre decimali.
esposti: 493/5600 PYnon esposti: 44/2000 PY
IRR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un paziente ha una probabilità pre-test del 40% per una malattia. Un test con sensibilità del 78% e specificità del 61% risulta positiva. Trova la probabilità post-test p′ della malattia in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
pre-test 40%Se = 78%Sp = 61%positiva
p′ = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 46, 52, 53, 31, 46.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 75. Trova il punteggio z z di un voto pari a 410.
μ = 500σ = 75x = 410
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 80 telefoni, media 42,5 h, deviazione standard nota 14 h. Modello 2: 30 telefoni, media 49 h, deviazione standard nota 18 h. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.
I diametri di 15 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 1,3 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite inferiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 14, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 5,629 e il 2,5% sopra 26,119.
n = 15s = 1,3 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 100 studenti ha un punteggio medio di 75,85 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 75,85s = 5n = 100
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 80 contro H₁: μ > 80 viene eseguito con α = 0,10 su un campione di 64; la deviazione standard è nota e vale 12. In realtà la media è 84,2. Trova la probabilità di un errore di secondo tipo β in percentuale.
μ₀ = 80μ = 84,2σ = 12n = 64α = 0,10
β = %
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: IRR = 4
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di incidenza
esposti: 493/5600 = 88,04 per 1000 persone-anno
non esposti: 44/2000 = 22 per 1000 persone-anno
Rapporto dei tassi
IRR = 88,04/22 = 4,002 ≈ 4
Risposta
IRR = 4
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: p′ = 57,1 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Rapporto di verosimiglianza
LR+ = 0,78/(1 − 0,61) = 2
Odds pre-test
0,4/(1 − 0,4) = 0,6667
Odds post-test
0,6667·2 = 1,333
Probabilità post-test
p′ = 1,333/(1 + 1,333) = 0,5714 ≈ 57,1%
Risposta
p′ = 57,1%
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 8,792
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (410 − 500)/75 = −1,2
Risposta
z = −1,2
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 2,877 h
Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 42,5 − 49 = −6,5
Errore standard
SE = √(14²/80 + 18²/30) = 3,64
Margine di errore
E = 2,576·3,64 = 9,377
Intervallo
−6,5 ± 9,377 → [−15,88, 2,877]
Risposta
limite superiore = 2,877 h
L’intervallo contiene 0, quindi i dati non mostrano una differenza significativa.
6.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 0,9518 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 14·1,3² = 23,66
Limiti per σ²
23,66/26,119 = 0,9059
23,66/5,629 = 4,203
Limite per σ
σ = √0,9059 = 0,9518 µm
Risposta
σ = 0,9518 µm
Intervallo al 95% per σ: [0,9518, 2,05] µm.
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 1,7
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5
Statistica test
t = (75,85 − 75)/0,5 = 1,7
Risposta
t = 1,7
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: β = 6,451 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).